Question

【題目】已知函數(shù)對任意的實數(shù)m,n都有,且當時,.

(1)求；

(2)求證：在R上為增函數(shù)；

(3)若,且關(guān)于x的不等式對任意的恒成立,求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1).

(2)證明見解析；

(3).

【解析】

(1) 代入求值即可；

(2)利用單調(diào)性的定義、充分利用和當時,.即可證明出在R上為增函數(shù)；

(3)利用、把不等式轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值的大小關(guān)系的式子,再利用(2)的結(jié)論,可以得到一個不等式,要想這個不等式對任意的恒成立,通過構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的最值最后求出實數(shù)的取值范圍.

（1）令,則,∴.

（2）證明：任取,且.

則,,∵,

∴

∴,∴在R上為增函數(shù).

（3）∵,即

∴,∵,∴.

又∵在R上為増函數(shù),∴

∴對任意的恒成立

令，只需滿足即可

當,即時,在上遞增

因此,由得,此時；當，即時，

,由得,

此時.

綜上,實數(shù)的取值范圍為.