Question

F₁，F(xiàn)₂為橢圓左、右焦點，A為橢圓上任意一點，過焦點F₂向∠F₁AF₂的外角平分線作垂線，垂足為D，則點D的軌跡方程是x²+y²=a²．類比可得：F₁，F(xiàn)₂為雙曲線左、右焦點，A為雙曲線上任意一點，過焦點F₂向∠F₁AF₂的    平分線作垂線，垂足為D，則點D的軌跡方程是    ．

Answer 1

【答案】分析：延長F₁D、AF₂交于點C，由等腰三角形的“三線合一”證出△F₁AF₂是以F₁C為底的等腰三角形，D為F₁C的中點．利用三角形中位線定理證出|OD|=|F₂C|，再由|AC|=|F₁A|和雙曲線的定義得到|F₂C|=|AC|-|F₂A|=|F₁A|-|F₂A|=2a，可得|OD|=a，從而得到點D的軌跡是以0為圓心半徑為a的圓，由此可得本題答案．
解答：解：當點A在雙曲線的右支時，如圖所示
延長F₁D、AF₂，交于點C
∵AD是△F₁AC的角平分線，也是高線
∴△F₁AF₂是以F₁C為底的等腰三角形
D為F₁C的中點，可得OD是△F₁CF₂的中位線
由此可得|OD|=|F₂C|
∵△F₁AF₂中，|AC|=|F₁A|
∴|F₂C|=|AC|-|F₂A|=|F₁A|-|F₂A|
由雙曲線的定義，得|F₁A|-|F₂A|=2a，可得|OD|=|F₂C|=a
同理可證：點A在雙曲線的左支時，也有|OD|=a
因此，點D到原點0的距離為常數(shù)a，得點D的軌跡是以0為圓心半徑為a的圓
即焦點F₂向∠F₁AF₂的內角平分線作垂線，垂足D的軌跡方程為x²+y²=a²
故答案為：內角   x²+y²=a²
點評：本題在已知橢圓的一個動點軌跡的情況下，推導關于雙曲線的動點軌跡方程．著重考查了等腰三角形的判定、三角形中位線定理、雙曲線的定義和動點軌跡的方程等知識，屬于中檔題．