Question

已知向量

a

=（sin x，cos x），

b

=（sin x，sin x），

c

=（-1，0）．
（1）若x=

π

3

，求向量

a

與

c

的夾角θ；
（2）若x∈[-

3π

8

，

π

4

]，求函數(shù)f（x）=

a

•

b

的最值；
（3）函數(shù)f（x）的圖象可以由函數(shù)y=

2

2

sin 2x （x∈R）的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？

Answer 1

分析：（1）若x=

π

3

，先求出

a

與

c

的坐標，設

a

與

c

的夾角為θ，利用兩個向量夾角公式求出cosθ的值，可得θ的值．
（2）利用兩個向量的數(shù)量積的公式化簡函數(shù)f（x）的解析式為

1

2

+

2

2

sin（2x-

π

4

），再根據(jù)x的范圍求得2x-

π

4

 的范圍，可得函數(shù)的值域．
（3）根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律得出結(jié)論．

解答：解：（1）若x=

π

3

，則向量

a

=（

3

2

，

1

2

），

c

=（-1，0），設

a

與

c

的夾角為θ，
則有cosθ=

a • c

| a |•| c |

=

- 3 2 +0

1×1

=-

3

2

，故θ=

5π

6

．
（2）函數(shù)f（x）=

a

•

b

=sin²x+sinxcosx=

1-cos2x

2

+

1

2

sin2x=

1

2

+

2

2

sin（2x-

π

4

）．
若x∈[-

3π

8

，

π

4

]，則 2x-

π

4

∈[-π，

π

4

]，
故當2x-

π

4

=-

π

2

時，函數(shù)取得最小值未為

1- 2

2

，當2x-

π

4

=

π

4

時，函數(shù)取得最大值為1，
故函數(shù)的值域為[

1- 2

2

，1]．
（3）把函數(shù)y=

2

2

sin 2x 的圖象向右平移

π

8

個單位，再向下平移

1

2

個單位，即可得到函數(shù)f（x）的圖象．

點評：本題主要考查兩個向量夾角公式的應用，兩個向量的數(shù)量積的公式，正弦函數(shù)的定義域和值域，y=Asin（ωx+∅）的圖象變換規(guī)律，屬于中檔題．