Question

【題目】如圖，已知在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PA⊥平面ABCD，PA= ，AB=1．AD=2．∠BAD=120°，E，F(xiàn)，G，H分別是BC，PB，PC，AD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：PH∥平面GED；
（Ⅱ）過點(diǎn)F作平面α，使ED∥平面α，當(dāng)平面α⊥平面EDG時(shí)，設(shè)PA與平面α交于點(diǎn)Q，求PQ的長．

Answer 1

【答案】證明：（Ⅰ）連接HC，交ED于點(diǎn)N，連接GN，
∵DHEC是平行四邊形，∴N是線段HC的中點(diǎn)，又G是PC的中點(diǎn)，
∴GN∥PH，
又∵GN平面GED，PH平面GED，
∴PH∥平面GED．
（Ⅱ） 方法1：連接AE，∵∠BAD=120°，∴△ABE是等邊三角形，
設(shè)BE的中點(diǎn)為M，以AM、AD、AP分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則B（ ， ，0），C（ ， ，0），D（0，2，0），P（0，0， ），
則E（ ， ，0），F(xiàn)（ ， ， ），G（ ， ， ）．
設(shè)Q（0，0，t）， ， ．
設(shè) 是平面GED的一個(gè)法向量，
則 ，得 ，
令y1=1∴ ．
設(shè) 是平面α的一個(gè)法向量，
則 ，得 ，令y2=1，得 ，
當(dāng)平面GED⊥平面α?xí)r， ，
得 ，則PQ的長為 ．
方法2：連接BH，則BH∥ED，又∵PB∥GE，∴平面PBH∥平面GED，
設(shè)BH與AE交于點(diǎn)K，PK的中點(diǎn)為M，
∵F是PB的中點(diǎn)，∴FM∥BK，
∵ABEH是菱形，∴AE⊥BK，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BK，∴BK⊥平面PAK．
∴FM⊥平面PAK，
過M作MQ⊥PK，交PA于Q，設(shè)MQ與FM所確定的平面為α，
∵ED∥BH∥FM，∴ED∥平面α，又平面α⊥平面PBH，∴平面α⊥平面EDG．
得平面α滿足條件．
∵ ， ，∴ ，
由 ，
得 ．



【解析】（I）連接HC，交ED于點(diǎn)N，連接GN．由平行四邊形的性質(zhì)和三角形的中位線定理即可得到GN∥PH，再利用線面平行的判定定理即可證明；（II）方法一：通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用平面GED⊥平面α兩個(gè)平面的法向量 ，求得Q的坐標(biāo)，進(jìn)而取得|PQ|的長．方法二：連接BH，則BH∥ED，及PB∥GE，可得平面PBH∥平面GED；利用三角形懂得中位線定理可得FM∥BK；利用菱形的性質(zhì)可得AE⊥BK，再利用線面垂直的判定和性質(zhì)定理可得BK⊥平面PAK，F(xiàn)M⊥平面PAK；過M作MQ⊥PK，交PA于Q，設(shè)MQ與FM所確定的平面為α，可得ED∥BH∥FM，ED∥平面α，又平面α⊥平面PBH，可得平面α⊥平面EDG．得平面α滿足條件．利用已知可得PA、AK、PK，再利用 ，即可得到PQ．
【考點(diǎn)精析】利用直線與平面平行的判定對題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行；簡記為：線線平行，則線面平行．