Question

證明不等式：1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

對(duì)任意的正整數(shù)n恒成立．

Answer 1

分析：利用數(shù)學(xué)歸納法證明①當(dāng)n=1時(shí)，驗(yàn)證不等式成立；②假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，不等式成立，然后證明當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．即可．

解答：證明：①當(dāng)n=1時(shí)，不等式左端=1，右端=2，所以不等式成立；
②假設(shè)n=k（k≥1）時(shí)，不等式成立，即1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

＜2

k

，
則1+

1

2

+

1

3

+…+

1

k

+

1

k+1

＜2

k

+

1

k+1

=

2 k(k+1) +1

k+1

＜

k+(k+1)+1

k+1

=2

k+1

∴當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立．
綜合①②得：當(dāng)n∈N^*時(shí)，都有1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜2

n

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的應(yīng)用，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力以及轉(zhuǎn)化思想．