Question

已知橢圓的上頂點(diǎn)為,左焦點(diǎn)為,直線(xiàn)與圓相切.過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn).

(I)求橢圓的方程;

(II)當(dāng)的面積達(dá)到最大時(shí),求直線(xiàn)的方程.

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）

【解析】

試題分析：解:(I)將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,則圓的圓心,半徑.由得直線(xiàn)的方程為.

由直線(xiàn)與圓相切,得,

所以或(舍去).

當(dāng)時(shí),,

故橢圓的方程為.  5分

(II)由題意可知,直線(xiàn)的斜率存在,設(shè)直線(xiàn)的斜率為,

則直線(xiàn)的方程為.

因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓中

所以對(duì)任意,直線(xiàn)都與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)

由得

設(shè)點(diǎn)P,Q的坐標(biāo)分別為，則

又因?yàn)辄c(diǎn)A到直線(xiàn)的距離

所以的面積為   10分

設(shè)，則且

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013060510080458301997/SYS201306051008526142550493_DA.files/image035.png">,

所以當(dāng)時(shí),的面積達(dá)到最大,

此時(shí),即.

故當(dāng)的面積達(dá)到最大時(shí),直線(xiàn)的方程為. 12分

考點(diǎn)：直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系

點(diǎn)評(píng)：本試題主要是考查了直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系的綜合運(yùn)用，屬于中檔題。