Question

【題目】在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是的中點(diǎn).

（1）證明：平面；

（2）設(shè)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)到平面距離最大時(shí)，求面與面所成二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）

【解析】

（1）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)菱形的性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定定理和性質(zhì)進(jìn)行證明即可；

（2）根據(jù)面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，可以確定點(diǎn)到直線的距離即為點(diǎn)到平面的距離，結(jié)合垂線段的性質(zhì)可以確定點(diǎn)到平面的距離最大，最大值為1.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.利用空間向量夾角公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系式進(jìn)行求解即可.

（1）證明：取中點(diǎn)，連接，

因?yàn)樗倪呅?/span>為菱形且.

所以，

因?yàn)?/span>，所以，

又，

所以平面，因?yàn)?/span>平面，

所以.

同理可證，

因?yàn)?/span>，

所以平面.

（2）解：由（1）得平面，

所以平面平面，平面平面.

所以點(diǎn)到直線的距離即為點(diǎn)到平面的距離.

過作的垂線段，在所有的垂線段中長度最大的為，此時(shí)必過的中點(diǎn)，

因?yàn)?/span>為中點(diǎn)，所以此時(shí)，點(diǎn)到平面的距離最大，最大值為1.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系.

則

所以

平面的一個(gè)法向量為，

設(shè)平面的法向量為，

則即

取，則，

，

所以，

所以面與面所成二面角的正弦值為.