（1）已知矩陣A=
33
24
，向量β=
6
8
，
（Ⅰ）求矩陣A的特征值和對(duì)應(yīng)的特征向量；
（Ⅱ）求向量α，使得A2α=β．
（2）在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為（1，0）、(1，
π
2
)，曲線C的參數(shù)方程為
x=rcosα
y=rsinα
(α為參數(shù)，r＞0）
（Ⅰ）求直線AB的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若直線AB和曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，求r的值．
（3）設(shè)不等式|x-2|＞1的解集與關(guān)于x的不等式x2-ax+b＞0的解集相同．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）求函數(shù)f(x)=a
x-3
+b
5-x
的最大值，以及取得最大值時(shí)x的值．
分析：（1）（Ⅰ）矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ）=
.
λ-3-3
-2λ-4
.
=λ2-7λ+6，令f（λ）=0，能求出矩陣M的特征值和特征向量．
（Ⅱ）由矩陣A=
33
24
，知A2=
1521
1422
，設(shè)向量α=
x
y
，由向量β=
6
8
，A2α=β，能求出向量α．
（2）（Ⅰ）由點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為（1，0）、(1，
π
2
)，求出A，B的普通方程，由此能直線AB的直角坐標(biāo)方程．
（Ⅱ）由曲線C的參數(shù)方程為
x=rcosα
y=rsinα
(α為參數(shù)，r＞0），知曲線C的普通方程為x2+y2=r2．再由直線AB和曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，能求出r．
（3）（Ⅰ）解不等式|x-2|＞1，不等式x2-ax+b＞0的解集為{x|x＞3 或x＜1 }．由此能求出a和b．
（Ⅱ）由a=4，b=3，知f（x）=4
x-3
+3
5-x
，3≤x≤5．由（4
x-3
+3
5-x
）2=7x-3+24
-(x-4)2+1
，由此能求出f（x）的最大值為和此時(shí)x值．
解答：解：（1）（Ⅰ）矩陣M的特征多項(xiàng)式為f（λ）=
.
λ-3-3
-2λ-4
.
=λ2-7λ+6，
令f（λ）=0，得矩陣M的特征值為1和6．
當(dāng)λ=1時(shí)，聯(lián)立
-2x-3y=0
-2x-3y=0
，解得2x+3y=0
所以矩陣M的屬于特征值1的一個(gè)特征向量為
2
-3
．
當(dāng)λ=6時(shí)，聯(lián)立
3x-3y=0
-2x+2y=0
，解得x=y
所以矩陣M的屬于特征值3的一個(gè)特征向量
1
1
．
（Ⅱ）∵矩陣A=
33
24
，∴A2=
33
24
33
24
=
1521
1422
，
設(shè)向量α=
x
y
，∵A=
33
24
，向量β=
6
8
，A2α=β，
∴
15x+21y=6
14x+22y=8
，解得x=-1，y=1，
∴向量α=
-1
1
．
（2）（Ⅰ）∵點(diǎn)A、B的極坐標(biāo)分別為（1，0）、(1，
π
2
)，
∴點(diǎn)A，B的普通坐標(biāo)為（1，0），（0，1），
∴直線AB的直角坐標(biāo)方程為x+y-1=0．
（Ⅱ）∵曲線C的參數(shù)方程為
x=rcosα
y=rsinα
(α為參數(shù)，r＞0），
∴曲線C的普通方程為x2+y2=r2．
∵直線AB和曲線C只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴圓心（0，0）到直線AB的距離d=
|0+0-1|
2
=r，解得r=
2
2
．
（3）（Ⅰ）解不等式|x-2|＞1，得x＞3 或x＜1，
故不等式|x-2|＞1的解集為{x|x＞3 或x＜1 }，
由題設(shè)知不等式x2-ax+b＞0的解集為{x|x＞3 或x＜1 }．
∴3+1=a，3×1=b
解得a=4，b=3．
（Ⅱ）∵a=4，b=3，
∴f（x）=4
x-3
+3
5-x
，3≤x≤5．
由（4
x-3
+3
5-x
）2=16x-48+45-9x+24
(x-3)(5-x)

=7x-3+24
(x-3)(5-x)

=7x-3+24
-x2+8x-15

=7x-3+24
-(x-4)2+1

≤28-3+24=49，當(dāng)且僅當(dāng)x=4時(shí)取最大值．
∴f（x）的最大值為7，此時(shí)x=4．
點(diǎn)評(píng)：（1）考查矩陣的特征值和特征向量的求法；（2）考查極坐標(biāo)與參數(shù)方程的應(yīng)用；（3）考查不等式的解法及其應(yīng)用．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)A．選修4-1：幾何證明選講
如圖，圓O1與圓O2內(nèi)切于點(diǎn)A，其半徑分別為r1與r2（r1＞r2 ）．圓O1的弦AB交圓O2于點(diǎn)C （ O1不在AB上）．求證：AB：AC為定值．
B．選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
11
21
，向量β=
1
2
．求向量
α
，使得A2
α
=
β
．
C．選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，求過(guò)橢圓
x=5cosφ
y=3sinφ
（φ為參數(shù)）的右焦點(diǎn)，且與直線
x=4-2t
y=3-t
（t為參數(shù)）平行的直線的普通方程．
D．選修4-5：不等式選講（本小題滿分10分）
解不等式：x+|2x-1|＜3．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

本題有（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每小題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
12
34
．
①求矩陣A的逆矩陣B；
②若直線l經(jīng)過(guò)矩陣B變換后的方程為y=x，求直線l的方程．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與直角坐標(biāo)系中x軸的正半軸重合．圓C的參數(shù)方程為
x=1+2cosα
y=-1+2sinα
（a為參數(shù)），點(diǎn)Q極坐標(biāo)為（2，
7
4
π）．
（Ⅰ）化圓C的參數(shù)方程為極坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）若點(diǎn)P是圓C上的任意一點(diǎn)，求P、Q兩點(diǎn)距離的最小值．
（3）選修4-5：不等式選講
（I）關(guān)于x的不等式|x-3|+|x-4|＜a的解不是空集，求a的取值范圍．
（II）設(shè)x，y，z∈R，且
x2
16
+
y2
5
+
z2
4
=1，求x+y+z的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）已知矩陣A=
a2
1b
有一個(gè)屬于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
，
①求矩陣A；
②已知矩陣B=
1-1
01
，點(diǎn)O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩陣AB的對(duì)應(yīng)變換作用下所得到的△O'M'N'的面積．
（2）已知在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為
x=t-3
y=
3
 t
（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長(zhǎng)度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρco sθ+3=0．
①求直線l普通方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程；
②設(shè)點(diǎn)P是曲線C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求它到直線l的距離的取值范圍．
（3）已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+1|．
①求不等式f（x）≥3的解集；
②若關(guān)于x的不等式f（x）≥a2-a在R上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•漳州模擬）本題（1）、（2）、（3）三個(gè)選答題，每小題7分，請(qǐng)考生任選2題作答，滿分14分，如果多做，則按所做的前兩題計(jì)分．作答時(shí)，先用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對(duì)應(yīng)的題號(hào)涂黑，并將所選題號(hào)填入括號(hào)中．
（1）選修4-2：矩陣與變換
已知矩陣A=
a2
1b
有一個(gè)屬于特征值1的特征向量
α
=
2
-1
．
（Ⅰ） 求矩陣A；
（Ⅱ） 矩陣B=
1-1
01
，點(diǎn)O（0，0），M（2，-1），N（0，2），求△OMN在矩陣AB的對(duì)應(yīng)變換作用下所得到的△O'M'N'的面積．
（2）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
已知直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為
x=t-3 
y=
3
t 
（t為參數(shù)）．以直角坐標(biāo)系xOy中的原點(diǎn)O為 極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ2-4ρcosθ+3=0，
（Ⅰ） 求l的普通方程及C的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ） P為圓C上的點(diǎn)，求P到l距離的取值范圍．
（3）選修4-5：不等式選講
已知關(guān)于x的不等式：|x-1|+|x+2|≥a2+2|a|-5對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

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