Question

【題目】已知橢圓C：（）的左右焦點分別為，，點為短軸的一個端點，.

（1）求橢圓C的方程；

（2）如圖，過右焦點，且斜率為k（）的直線l與橢圓C相交于D，E兩點，A為橢圓的右頂點，直線，分別交直線于點M，N，線段的中點為P，記直線的斜率為.試問是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）是，定值

【解析】

（1）由條件求得，可求得橢圓方程；

（2）設(shè)過點的直線l方程為：.與橢圓的方程聯(lián)立求解得，設(shè)點，，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得，.再得出直線的方程和直線的方程，求得點M和點N的坐標，從而求得點P的坐標，得出直線的斜率，可求得，得解.

（1）由條件可知，，故所求橢圓方程為；

（2）設(shè)過點的直線l方程為：.

由可得：，

因為點在橢圓內(nèi)，所以直線l和橢圓都相交，即恒成立.設(shè)點，，

則，.因為直線的方程為：，直線的方程為：，

令，可得，，所以點P的坐標.

直線的斜率為，

所以為定值.