Question

（考生注意：請(qǐng)?jiān)谙铝袃深}中任選一題作答，如果多做則按所做的第一題評(píng)分）
（A）在極坐標(biāo)系中，過(guò)點(diǎn)（2

2

，

π

4

）作圓ρ=4sinθ的切線，則切線的極坐標(biāo)方程為

ρcosθ=2

（B）已知方程|2^x-1|-|2^x+1|=a+1有實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍為

[-3，-1]

．

Answer 1

分析：（A）由圓ρ=4sinθ，知ρ²=4ρsinθ，故x²+y²-4y=0，由極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2

2

，

π

4

），知x=2

2

•cos

π

4

=2，y=2

2

sin

π

4

=2，由A（2，2）在x²+y²-4y=0上，知過(guò)點(diǎn)A（2，2）的圓x²+y²-4y=0的切線極坐標(biāo)方程．
（B）由已知方程|2^x-1|-|2^x+1|=a+1有解，分離出參數(shù)a+1=|2^x-1|-|2^x+1|，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）=|2^x-1|-|2^x+1|的值域．

解答：解：（A）∵圓ρ=4sinθ，∴ρ²=4ρsinθ，
∴x²+y²-4y=0，
∵極坐標(biāo)系中，點(diǎn)（2

2

，

π

4

），
∴x=2

2

•cos

π

4

=2，y=2

2

sin

π

4

=2，
∵A（2，2）在x²+y²-4y=0上，
x²+y²-4y=0的圓心B（0，2），
∴kAB=

2-2

0-2

=0，
∴過(guò)點(diǎn)A（2，2）的圓x²+y²-4y=0的切線方程為：x=2．
即ρcosθ=2．
故答案為：ρcosθ=2．
（B）解：分離出參數(shù)a+1，
∵a+1=|2^x-1|-|2^x+1|，
∵函數(shù)f（x）=|2^x-1|-|2^x+1|值域?yàn)椋篬-2，0）
∴a+1∈[-2，0）
∴a的取值范圍為：-3≤a≤-1．
故答案為：[-3，-1）．

點(diǎn)評(píng)：（A）本題考查簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程，是基礎(chǔ)題．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．
（B）通過(guò)構(gòu)造函數(shù)，從而借助于函數(shù)的圖象研究了函數(shù)值域的問(wèn)題，將復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化．整個(gè)解題過(guò)程充滿對(duì)函數(shù)、方程和不等式的研究和轉(zhuǎn)化，也充滿了函數(shù)與方程思想的應(yīng)用．