Question

設(shè)F₁，F(xiàn)₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點(diǎn)，若該橢圓上一點(diǎn)P滿足|PF₂|=|F₁F₂|，且以原點(diǎn)O為圓心，以b為半徑的圓與直線PF₁有公共點(diǎn)，則該橢圓離心率e的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：分別過(guò)F₂、點(diǎn)O作PF₁的垂線，垂足分別為D、E，利用橢圓的定義與勾股定理，并根據(jù)OE是△DF₁F₂的中位線，算出|OE|=

1

2

|DF₂|=

1

2

3c2+2ac-a2

．根據(jù)以原點(diǎn)O為圓心、b為半徑的圓與直線PF₁有公共點(diǎn)，可得|OE|≤b，由此建立關(guān)于a、c的不等式，化簡(jiǎn)整理得到關(guān)于離心率e的一元二次不等式，解之可得橢圓離心率e的范圍．

解答：解：∵點(diǎn)P在橢圓C上，∴根據(jù)橢圓的定義，可得|PF₁|+|PF₂|=2a．
又∵|PF₂|=|F₁F₂|=2c，∴|PF₁|=2a-2c
過(guò)點(diǎn)F₂作F₂D⊥PF₁于D點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥PF₁于E點(diǎn)，
∵|PF₂|=|F₁F₂|，
∴△PF₁F₂是等腰三角形，可得D是PF₁的中點(diǎn)，DF₁=

1

2

|PF₁|=a-c，
Rt△DF₁F₂中，|DF₁|²+|DF₂|²=|F₁F₂|²，
∴|DF₂|=

|F1F2|2-|DF1|2

=

4c2-(a-c)2

=

3c2+2ac-a2

．
∵△DF₁F₂中，OE是中位線，∴|OE|=

1

2

|DF₂|=

1

2

3c2+2ac-a2

．
又∵以原點(diǎn)O為圓心，以b為半徑的圓與直線PF₁有公共點(diǎn)，
∴原點(diǎn)O到直線PF₁的距離小于b，即|OE|≤b，得

1

2

3c2+2ac-a2

≤b，
化簡(jiǎn)得3c²+2ac-a²≤4（a²-c²），即7c²+2ac-5a²≤0，兩邊都除以a²得7e²+2e-5≤0，解之得-1≤e≤

5

7

．
結(jié)合橢圓的離心率e∈（0，1），可得0＜e≤

5

7

．
又∵等腰△PF₁F₂中，|PF₂|+|F₁F₂|＞|PF₂|，
∴2c+2c＞2a-2c，得a＜3c，所以e=

c

a

＞

1

3

．
綜上所述，橢圓的離心率e的取值范圍是(

1

3

，

5

7

]．
故答案為：(

1

3

，

5

7

]

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓滿足的條件，求橢圓離心率的取值范圍．著重考查了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)、三角形中位線定理和直線與圓的位置關(guān)系等知識(shí)，屬于中檔題．