Question

經過拋物線y²=2px的焦點F作傾角為θ的直線，若該直線與拋物線交于P₁、P₂兩點．
（1）求|P₁P₂|；
（2）當θ變化時，求|P₁P₂|的最小值．

Answer 1

分析：（1）根據題意可求得拋物線的焦點，進而可求得直線的方程，設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）把直線與拋物線方程聯立消去x，根據韋達定理求得x₁+x₂，然后根據拋物線定義可求得|P₁P₂|=x₁+x₂+p，答案可得．
（2）根據（1）中關于|P₁P₂|的表達式化簡整理后可知當θ=

π

2

時，由最小值．

解答：解：（1）拋物線焦點坐標為（

p

2

，0），
當θ=90°時，將x=

p

2

代入，可解得P₁、P₂兩點的縱坐標分別為-p，p，此時有|P₁P₂|=2p；
當θ≠90°時，則直線方程為y=tanθ（x-

p

2

），P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）
代入拋物線方程得tan²θx²-（tan²θp+2p）x+

p2

4

=0
則x₁+x₂=

tan2θp+2p

tan2θ

根據拋物線定義可知|P₁P₂|=x₁+

p

2

x₂+

p

2

=x₁+x₂+p=

2tan2θp+2p

tan2θ

=

2p

sin 2θ

又θ=90°時，2p=

2p

sin 2θ

∴|P₁P₂|=

2p

sin 2θ

（2）由（1）可知|P₁P₂|=

2p

sin 2θ

，
∵-1≤sinθ≤1，
∴

2p

sin 2θ

≥2p，當θ=90°時等號成立
即|P₁P₂|的最小值為2p．

點評：本題主要考查了直線與圓錐曲線的綜合問題．涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式）．