Question

O為△ABC平面上一定點(diǎn)，該平面上一動(dòng)點(diǎn)p滿足M={P|

OP

=

OA

+λ(

AB

| AB |

sinC+

AC

| AC |

sinB) ，λ＞0}，則△ABC的（　　）一定屬于集合M．

A．重心

B．垂心

C．外心

D．內(nèi)心

Answer 1

分析：由題意畫出圖象，根據(jù)正弦定理設(shè)t=

sinc

| AB |

=

sinB|

| AC |

，再代入關(guān)系式由向量的減法化簡(jiǎn)，判斷出

AP

∥

AD

，即得點(diǎn)P得軌跡圖形，再得到正確答案．

解答：解：如圖：D是BC的中點(diǎn)，
在△ABC中，由正弦定理得，

| AB |

sinC

=

| AC |

sinB

即

sinc

| AB |

=

sinB|

| AC |

，設(shè)t=

sinc

| AB |

=

sinB|

| AC |

，
代入

OP

=

OA

+λ(

AB

| AB |

sinC+

AC

| AC |

sinB)得，

OP

=

OA

+λt(

AB

+

AC

)①，
∵D是BC的中點(diǎn)，∴

AB

+

AC

=2

AD

，代入①得，

OP

=

OA

+2λt

AD

，
∴

AP

=2λt

AD

且λ、t都是常數(shù)，則

AP

∥

AD

，
∴點(diǎn)P得軌跡是直線AD，
△ABC的重心一定屬于集合M，
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了向量再平面圖形中的應(yīng)用，正弦定理、向量的減法和共線的充要條件等，必須根據(jù)題意正確作圖，根據(jù)圖象解答，屬于難題，符號(hào)抽象，會(huì)很多同學(xué)聯(lián)系不到正弦定理．