(文科)已知雙曲線的右焦點為,過點的動直線與雙曲線相交于兩點,點的坐標(biāo)是.
(I)證明為常數(shù);
(II)若動點滿足(其中為坐標(biāo)原點),求點的軌跡方程.
(1)略
(2)
【解析】(文科)解:由條件知,設(shè),.
(I)當(dāng)與軸垂直時,可設(shè)點的坐標(biāo)分別為,,
此時.
當(dāng)不與軸垂直時,設(shè)直線的方程是.
代入,有.
則是上述方程的兩個實根,所以,,
于是
.綜上所述,為常數(shù).
(II)解法一:設(shè),則,,
,,由得:
即于是的中點坐標(biāo)為.
當(dāng)不與軸垂直時,,即.
又因為兩點在雙曲線上,所以,,兩式相減得
,即.
將代入上式,化簡得.
當(dāng)與軸垂直時,,求得,也滿足上述方程.
所以點的軌跡方程是.
解法二:同解法一得……………………………………①
當(dāng)不與軸垂直時,由(I) 有.…………………②
.………………………③
由①、②、③得. …④ .…⑤
當(dāng)時,,由④、⑤得,,將其代入⑤有
.整理得.
當(dāng)時,點的坐標(biāo)為,滿足上述方程.
當(dāng)與軸垂直時,,求得,也滿足上述方程.
故點的軌跡方程是.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
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(本小題滿分14分)(文科)已知曲線的離心率,直線過、兩點,原點到的距離是.
(Ⅰ)求雙曲線的方程;
(Ⅱ)過點作直線交雙曲線于兩點,若,求直線的方程.
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