(文科)已知雙曲線的右焦點為,過點的動直線與雙曲線相交于兩點,點的坐標(biāo)是

(I)證明為常數(shù);

(II)若動點滿足(其中為坐標(biāo)原點),求點的軌跡方程.

 

【答案】

 

(1)略

(2)

【解析】(文科)解:由條件知,設(shè)

(I)當(dāng)軸垂直時,可設(shè)點的坐標(biāo)分別為,

此時

當(dāng)不與軸垂直時,設(shè)直線的方程是

代入,有

是上述方程的兩個實根,所以,,

于是

.綜上所述,為常數(shù)

(II)解法一:設(shè),則,,

,由得:

于是的中點坐標(biāo)為

當(dāng)不與軸垂直時,,即

又因為兩點在雙曲線上,所以,,兩式相減得

,即

代入上式,化簡得

當(dāng)軸垂直時,,求得,也滿足上述方程.

所以點的軌跡方程是

解法二:同解法一得……………………………………①

當(dāng)不與軸垂直時,由(I) 有.…………………②

.………………………③

由①、②、③得. …④   .…⑤

當(dāng)時,,由④、⑤得,,將其代入⑤有

.整理得

當(dāng)時,點的坐標(biāo)為,滿足上述方程.

當(dāng)軸垂直時,,求得,也滿足上述方程.

故點的軌跡方程是

 

練習(xí)冊系列答案
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