Question

(附加題)
（1）自圓O外一點P引切線與圓切于點A，M為PA中點，過M引割線交圓于B，C兩點．
求證：∠MCP=∠MPB．
（2）在平面直角坐標系xOy中，已知四邊形ABCD的四個頂點A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），經矩陣表示的變換作用后，四邊形ABCD變?yōu)樗倪呅蜛₁B₁C₁D₁，問：四邊形ABCD與四邊形A₁B₁C₁D₁的面積是否相等？試證明你的結論．
（3）已知A是曲線ρ=12sinθ上的動點，B是曲線上的動點，試求AB的最大值．
（4）設p是△ABC內的一點，x，y，z是p到三邊a，b，c的距離，R是△ABC外接圓的半徑，證明．

Answer 1

（1）證明：∵AM切圓于點A，
∴AM²=MBMC
又∵M為PA中點，AM=MP，
∴MP²=MBMC，
∴
∵∠BMP=∠PMC，
∴△BMP∽△PMC，
∴∠MCP=∠MPB．
（2）四個頂點A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），
經矩陣表示的變換作用后，
四邊形ABCD變?yōu)樗倪呅蜛₁B₁C₁D₁頂點坐標為
A₁（0，1），B₁（2，2k+1），C₁（2，2k+3），D₁（0，2），
四邊形A₁B₁C₁D₁仍為梯形，且上、下底及高都不變，故面積相等；
（3）曲線ρ=12sinθ化為直角坐標方程為 x²+（y﹣6）²=36，
表示以（0，6）為圓心，以6為半徑的圓．
曲線化為直角坐標方程為
x²+y²=6x+6y，即 （x﹣3）²+（y﹣3）²=36，
表示以（3，3 ）為圓心，以6為半徑的圓．
兩圓的圓心距的平方為 （0﹣3 ）²+（6﹣3）² =36，
故兩圓相交，線段AB長的最大值為6+r+r'=18．
（4）連接P與三角形的三個頂點，分成的三個小三角形面積的和等于大三角形，
即（ax+by+cz）=S，
∴ax+by+cz=2S=
∴=×+×+×
≤×[++]
=×（）=×
=×