已知動圓M過定點F(0,-
2
),且與直線y=
2
相切,橢圓N的對稱軸為坐標(biāo)軸,一個焦點為F,點A(1,
2
)在橢圓N上.
(1)求動圓圓心M的軌跡Γ的方程及橢圓N的方程;
(2)若動直線l與軌跡Γ在x=-4處的切線平行,且直線l與橢圓N交于B,C兩點,試求當(dāng)△ABC面積取到最大值時直線l的方程.
分析:(1)由拋物線定義得,點M的軌跡是以F(0,-
2
)為焦點,直線y=
2
為準(zhǔn)線的拋物線,由此可得軌跡Γ的方程;設(shè)出橢圓方程,利用點A(1,
2
)在橢圓N上,可得橢圓N的方程;
(2)設(shè)出切線方程,代入橢圓方程,求得|BC|,點A到直線的距離,表示出面積,利用基本不等式,即可求得△ABC面積取到最大值時直線l的方程.
解答:解:(1)過圓心M作直線y=
2
的垂線,垂足為H.
由題意得,|MH|=|MF|,由拋物線定義得,點M的軌跡是以F(0,-
2
)為焦點,直線y=
2
為準(zhǔn)線的拋物線,
其方程為x2=-4
2
y

設(shè)橢圓方程為
y2
a2
+
x2
a2-2
=1
,將點A代入方程
2
a2
+
1
a2-2
=1

整理得a4-5a2+4=0,解得a2=4或a2=1(舍去)
故所求的橢圓方程為
y2
4
+
x2
2
=1
;
(2)軌跡Γ的方程為x2=-4
2
y
,即y=-
1
4
2
x2
,則y′=-
1
2
2
x
,所以軌跡軌跡Γ在x=-4處的切線斜率為k=
2
,
設(shè)直線l方程為y=
2
x+m,代入橢圓方程整理得4x2+2
2
mx+m2-4=0
因為△=8m2-16(m2-4)>0,解得-2<m<2;
設(shè)B(x1,y1),C(x2,y2),則x1+x2=-
2
2
m
,x1x2=
m2-4
4

所以BC|=
3
×
(x1+x2)2-4x1x2
=
3
×
4-
1
2
m2

∵點A到直線的距離為d=
|m|
3
,所以S△ABC=
1
2
×
3
×
4-
1
2
m2
×
|m|
3
=
2
2
×
(4-
1
2
m2
m2
2
2

當(dāng)且僅當(dāng)4-
1
2
m2=
1
2
m2
,即m=±2時等號成立,此時直線l的方程為y=
2
x±2.
點評:本題考查軌跡方程,考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查三角形面積的計算,考查基本不等式的運用,正確表示三角形的面積是關(guān)鍵.
練習(xí)冊系列答案
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已知動圓M過定點F(2,0),且與直線x=-2相切,動圓圓心M的軌跡為曲線C
(1)求曲線C的方程
(2)若過F(2,0)且斜率為1的直線與曲線C相交于A,B兩點,求|AB|

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(2012•深圳二模)如圖,已知動圓M過定點F(0,1)且與x軸相切,點F關(guān)于圓心M的對稱點為F′,動點F′的軌跡為C.
(1)求曲線C的方程;
(2)設(shè)A(x0,y0)是曲線C上的一個定點,過點A任意作兩條傾斜角互補的直線,分別與曲線C相交于另外兩點P、Q.
①證明:直線PQ的斜率為定值;
②記曲線C位于P、Q兩點之間的那一段為l.若點B在l上,且點B到直線PQ的距離最大,求點B的坐標(biāo).

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(1)求曲線C的方程;

(2)設(shè)是曲線C上的一個定點,過點A任意作兩條傾斜角互補的直線,分別與曲線C相交于另外兩點P 、Q.

①證明:直線PQ的斜率為定值;

②記曲線C位于P 、Q兩點之間的那一段為l.若點B在l上,且點B到直線PQ的

距離最大,求點B的坐標(biāo).

 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知動圓M過定點F(0,-數(shù)學(xué)公式),且與直線y=數(shù)學(xué)公式相切,橢圓N的對稱軸為坐標(biāo)軸,一個焦點為F,點A(1,數(shù)學(xué)公式)在橢圓N上.
(1)求動圓圓心M的軌跡Γ的方程及橢圓N的方程;
(2)若動直線l與軌跡Γ在x=-4處的切線平行,且直線l與橢圓N交于B,C兩點,試求當(dāng)△ABC面積取到最大值時直線l的方程.

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