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如圖已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，且過點A（0，1）．
（1）求橢圓的方程；
（2）過點A作兩條互相垂直的直線分別交橢圓于M，N兩點．求證：直線MN恒過定點P（0，-
3
5
）．
分析：（1）由題意知，e=
c
a
=
3
2
，b=1，a2-c2=1，由此能求出橢圓C的標準方程．
（2）設直線l1的方程為y=kx+1，由方程組
y=kx+1
x2
4
+y2=1
，得（4k2+1）x2+8kx=0，利用題設條件推導出直線MP與直線NP的斜率相等，從而得到M，N，P三點共線，由此證明直線MN恒過定點P（0，-
3
5
）．
解答：解：（1）由題意知，e=
c
a
=
3
2
，b=1，a2-c2=1，…（4分）
解得a=2，
所以橢圓C的標準方程為
x2
4
+y2=1．…（6分）
（2）設直線l1的方程為y=kx+1，
由方程組
y=kx+1
x2
4
+y2=1
，得（4k2+1）x2+8kx=0，…（8分）
解得x1=-
8k
4k2+1
，x2=0，所以xM=-
8k
4k2+1
，yM=
1-4k2
4k2+1
，…（10分）
同理可得xN=
8k
k2+4
，yN=
k2-4
k2+4
，…（12分）
kMP=
1-4k2
4k2+1
+
3
5
-
8k
4k2+1
=
-
8k2
5
+
8
5
-8k
=
k2-1
5k
，
kNP=
k2-4
k2+4
+
3
5
8k
k2+4
=
8k2
5
-
8
5
8k
=
k2-1
5k
，…（14分）
所以M，N，P三點共線，故直線MN恒過定點P（0，-
3
5
）．…（16分）
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查直線恒過定點，考查運算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，有一定的探索性，對數學思維能力要求較高，是高考的重點．解題時要認真審題，仔細解答．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，短軸兩個端點分別為A，B，且四邊形F1AF2B是邊長為2 的正方形．
（1）求橢圓的方程；
（2）若C，D分別為長軸的左右端點，O為坐標原點，動點M滿足MD⊥CD，連接CM，交橢圓于點P，判斷
OM
•
OP
是否為定值，若是，求出該定值，若不是，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•河北模擬）如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，梯形ABCD（AB∥CD∥y軸，|AB|＞|CD|）內接于橢圓C．
（I）設F是橢圓的右焦點，E為OF（O為坐標原點）的中點，若直線AB，CD分別經過點E，F(xiàn)，且梯形ABCD外接圓的圓心在直線AB上，求橢圓C的離心率；
（II）設H為梯形ABCD對角線的交點，|AB|=2m，|CD|=2n，|OH|=d，是否存在正實數λ使得
m-n
d
≤
λb
a
恒成立？若成立，求出λ的最小值，若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，O為原點，點M是橢圓右準線上的動點，以OM為直徑的圓與以橢圓長軸為直徑的圓交于P、Q兩點，直線PQ與橢圓相交于A、B兩點，則|AB|的取值范圍是
[
2b2
a
，2a)
[
2b2
a
，2a)
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•安徽模擬）如圖，已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，B為橢圓的上頂點且△BF1F2的周長為4+2
3
．
（1）求橢圓的方程；
（2）是否存在這樣的直線使得直線l與橢圓交于M，N兩點，且橢圓右焦點F2恰為△BMN的垂心？若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明由..

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