Question

（2012•資陽(yáng)二模）已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定義在R上的奇函數(shù)，且x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取極值1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g（x）=-mx+

5

2

m，若x₁，x₂∈[0．m]（m＞0），不等式f（x₁）-g（x₂）≤0恒成立，求m的取值范圍；
（Ⅲ）曲線y=f（x）上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，使過A、B兩點(diǎn)的切線都垂直于直線AB？若存在，求出A、B的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）欲求f（x）的解析式，只需找到關(guān)于a，b，c的三個(gè)等式，求出a，b，c的值，根據(jù)函數(shù)的奇偶性可得到一個(gè)含等式，根據(jù)x=-1時(shí)，取得極值1，可知函數(shù)在x=-1時(shí)，導(dǎo)數(shù)等于0，且x=-1時(shí)，函數(shù)值等于1，又可得到兩個(gè)含a，b，c的等式，三個(gè)等式聯(lián)立，解出a，b，c即可；
（Ⅱ）不等式f（x₁）-g（x₂）≤0恒成立，只需f（x）_max-g（x）_min≤0即可；
（Ⅲ）先假設(shè)存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，使過A、B的切線都垂直于AB，則切線斜率與AB斜率互為負(fù)倒數(shù)，又因?yàn)楹瘮?shù)在A，B點(diǎn)處的切線斜率時(shí)函數(shù)在該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)，就可得到含A，B點(diǎn)的坐標(biāo)的方程，解方程，若方程有解，則假設(shè)成立，若方程無解，則假設(shè)不成立．

解答：解：（Ⅰ）∵f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）是定義R上的奇函數(shù)
∴f（-x）=-f（x）恒成立，即bx²=0對(duì)于x∈R恒成立，
∴b=0
∴f（x）=ax³+cx，∴f′（x）=3ax²+c
∵x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取極值1．
∴f′（-1）=0且f（-1）=1．
∴

3a+c=0 -a-c=1

，
∴a=

1

2

，c=-

3

2

．
∴f(x)=

1

2

x3-

3

2

x
（Ⅱ）不等式f（x₁）-g（x₂）≤0恒成立，只需f（x）_max-g（x）_min≤0即可．
∵函數(shù)g（x）在[0，m]上單調(diào)遞減，∴g（x）_min=g（m）=-m²+

5

2

m
又f(x)=

1

2

x3-

3

2

x，f′(x)=

3

2

x2-

3

2

=

3

2

(x-1)(x+1)，
由f′（x）＞0得x＜-1或x＞1；f′（x）＜0得-1＜x＜1，
故函數(shù)f（x）在（-∞，-1），（1，+∞）上單調(diào)遞增，在（-1，1）上單調(diào)遞減，
則當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取得極小值，
在（0，+∞）上，當(dāng)f(x)=

1

2

x3-

3

2

x=f（0）時(shí)，x=

3

，
①當(dāng)0＜m≤

3

時(shí)，f（x）_max=f（0）=0，
則f（x）_max-g（x）_min=0-（-m²+

5

2

m）=m²-

5

2

m≤0，
解得0≤m≤

5

2

，故此時(shí)0＜m≤

3

②當(dāng)m＞

3

時(shí)，f（x）_max=f（m）=

1

2

m3-

3

2

m，
則f（x）_max-g（x）_min=

1

2

m3-

3

2

m-（-m²+

5

2

m）=

1

2

m3+m2-4m≤0，
解得-4≤m≤2，故此時(shí)

3

＜m≤2．
綜上所述，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（0，2]；
（Ⅲ）假定存在A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點(diǎn)，
∵f′(x)=

3

2

x2-

3

2

，過A、B兩點(diǎn)的切線平行，∴f′（x₁）=f′（x₂），得x12=x22
∵x₁≠x₂，∴x₂=-x₁，則y₂=-y₁，且知x₁≠0，
∴kAB=

y2-y1

x2-x1

=

y1

x1

=

1

2

x12-

3

2

，
由于過A點(diǎn)的切線垂直于直線AB，∴（

3

2

x12-

3

2

）（

1

2

x12-

3

2

）=-1
∴3x14-12x12+13=0，則△=-12＜0，∴關(guān)于x₁的方程無解．
故曲線上不存在兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，使過A、B兩點(diǎn)的切線都垂直于直線AB．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的解析式，考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)切線斜率之間的關(guān)系，考查恒成立問題，屬于中檔題．