Question

 （本題滿分18分，第（1）題5分，第（2）題8分，第（3）題5分）

設函數的定義域為，值域為，如果存在函數，使得函數的值域仍然是，那么，稱函數是函數的一個等值域變換，

（1）判斷下列是不是的一個等值域變換？說明你的理由；

，；

，；

（2）設的值域，已知是的一個等值域變換，且函數的定義域為，求實數的值；

（3）設函數的定義域為，值域為，函數的定義域為，值域為，寫出是的一個等值域變換的充分非必要條件（不必證明），并舉例說明條件的不必要性．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（1）：函數的值域為，，，

所以，不是的一個等值域變換；      …………2分

：，即的值域為，

當時，，即的值域仍為，

所以，是的一個等值域變換；              …………5分

（2）的值域為，由知，

即定義域為，                              …………6分

因為是的一個等值域變換，且函數的定義域為，

所以，的值域為，            …………8分

，

所以，

恒有，且存在使兩個等號分別成立，………10分

于是，

解得 或…………13分

（3）設函數的定義域為，值域為，函數的定義域為，值域為，則是的一個等值域變換的充分非必要條件是“=”． …………15分

條件的不必要性的一個例子是．

，，

，，

此時，但的值域仍為，

即是的一個等值域變換�！�………18分

（反例不唯一）