已知雙曲線的一條漸近線方程是,它的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線上,點(diǎn)是雙曲線右支上相異兩點(diǎn),且滿足為線段的中點(diǎn),直線的斜率為
(1)求雙曲線的方程;
(2)用表示點(diǎn)的坐標(biāo);
(3)若的中垂線交軸于點(diǎn),直線軸于點(diǎn),求的面積的取值范圍.
(1);(2);(3)

試題分析:(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程只需找到兩個(gè)關(guān)于的兩個(gè)等式,通過解方程即可得到的值,從而得到雙曲線方程.
(2)由直線AB的方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去y可得關(guān)于x的一個(gè)一元二次方程,判別式必須滿足大于零,再由韋達(dá)定理可表示出點(diǎn)D的坐標(biāo),又根據(jù)即可用k表示點(diǎn)D的縱坐標(biāo).從而可求出點(diǎn)D的坐標(biāo).
(3)的中垂線交軸于點(diǎn),直線軸于點(diǎn)的面積.通過直線AB可以求出點(diǎn)N的坐標(biāo),又由線段AB的中垂線及中點(diǎn)D的坐標(biāo),可以寫出中垂線的方程,再令y=0,即可求出點(diǎn)M.以MN長為底邊,高為點(diǎn)D的縱坐標(biāo),即可求出面積的表達(dá)式.再用最值的求法可得結(jié)論.
試題解析:(1)
雙曲線的方程為;
(2)方法一:
設(shè)直線的方程為代入方程
 當(dāng)時(shí)記兩個(gè)實(shí)數(shù)根為
 
的方程為代入得

下求的取值范圍:法一:由
所以化簡得
法二:在中令
所以
再結(jié)合 得 ;
方法二:兩式相減得

(3)由(2)可知方程中令
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為


 
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已知的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線上,且拋物線的焦點(diǎn)滿足,若邊上的中線所在直線的方程為為常數(shù)且).
(1)求的值;
(2)為拋物線的頂點(diǎn),,的面積分別記為,,求證:為定值.

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已知點(diǎn)、為雙曲線的左、右焦點(diǎn),過作垂直于軸的直線,在軸上方交雙曲線于點(diǎn),且.圓的方程是
(1)求雙曲線的方程;
(2)過雙曲線上任意一點(diǎn)作該雙曲線兩條漸近線的垂線,垂足分別為,求的值;
(3)過圓上任意一點(diǎn)作圓的切線交雙曲線、兩點(diǎn),中點(diǎn)為,求證:

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知點(diǎn)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn), 點(diǎn)在橢圓上上.
(Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)設(shè)直線、均與橢圓相切,試探究在軸上是否存在定點(diǎn),點(diǎn)的距離之積恒為1?若存在,請(qǐng)求出點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:填空題

以下幾個(gè)命題中:其中真命題的序號(hào)為_________________(寫出所有真命題的序號(hào))
①設(shè)A、B為兩個(gè)定點(diǎn),k為非零常數(shù),,則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為雙曲線;
②過定圓C上一定點(diǎn)A作圓的動(dòng)弦AB,O為坐標(biāo)原點(diǎn),若則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為橢圓;
③雙曲線有相同的焦點(diǎn);
④在平面內(nèi),到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是拋物線.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過點(diǎn)A(2,3),且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在平行于OA的直線l,使得直線l與橢圓C有公共點(diǎn),且直線OAl的距離等于4?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:不詳 題型:解答題

如圖,點(diǎn)P(0,-1)是橢圓C1=1(a>b>0)的一個(gè)頂點(diǎn),C1的長軸是圓C2x2y2=4的直徑.l1l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線,其中l1交圓C2A,B兩點(diǎn),l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.

(1)求橢圓C1的方程;
(2)求△ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程.

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過雙曲線左焦點(diǎn)且傾斜角為的直線交雙曲線右支于點(diǎn),若線段的中點(diǎn)落在軸上,則此雙曲線的離心率為(  )
A.B.C.D.

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若θ是任意實(shí)數(shù),則方程x2+4y2=1所表示的曲線一定不是 (   )
A.圓B.雙曲線C.直線D.拋物線

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