Question

如圖，邊長為4的正方形ABCD中
（1）點E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點，將△AED，△CFD分別沿DE，DF折A起，使A，C兩點重合于點A'，求證：面A'DF⊥面A'EF．
（2）當BE=BF=

1

4

BC時，求三棱錐A'-EFD的高．

Answer 1

分析：（1）由折疊前四邊形ABCD為正方形，可得折疊后A′D⊥A′E，A′D⊥A′F，結合線面垂直的判定定理可得A′D⊥平面A′EF，進而由面面垂直的判定定理，得到答案．
（2）當BE=BF=

1

4

BC時，可先求出三棱錐D-A′EF的體積，并計算出三角形EFD的面積，進而利用等積法求出三棱錐A′-DEF的高．

解答：證明：（1）由四邊形ABCD為正方形
故折疊后A′D⊥A′E，A′D⊥A′F
又∵A'E∩A'F=A，A'E，A'F?平面A'EF，
∴A′D⊥平面A′EF，
又∵A′D?平面A′DF，
∴平面A′DF⊥平面A′EF
解：（2）由四邊形ABCD為邊長為4的正方形
故折疊后A′D=4，A′E=A′F=3，EF=

2

則cos∠EA′F=

9+9-2

2×3×3

=

8

9

則sin∠EA′F=

17

9

故△EA′F的面積S_△EA′F=

1

2

•A′E•A′F•sin∠EA′F=

17

2

由（1）中A′D⊥平面A′EF
可得三棱錐D-A′EF的體積V=

1

3

×

17

2

×4=

2 17

3

又由三角形EFD的面積S=4×4-2×

1

2

×3×4-

1

2

×1×1=

7

2

且三棱錐D-A′EF的體積等于三棱錐A′-DEF的體積
故三棱錐A′-DEF的高h滿足

1

3

×

7

2

×h=

2 17

3

解得h=

4 17

7

點評：本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，點，線，面的距離計算，（1）的關鍵是熟練掌握空間線線垂直，線面垂直與面面垂直之間的相互轉化，（2）的關鍵是等積法的熟練應用．