Question

在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a₁,a₂,a₃,…,a_n,使這n+2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b₁,b₂,b₃,…,b_n，使這n+2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記A_n=a₁a₂a₃…a_n,B_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n.

(1)求數(shù)列{A_n} 和{B_n}的通項(xiàng)；

(2)當(dāng)n≥7時(shí)，比較A_n與B_n的大小，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

解析：(1)因?yàn)?，a₁,a₂,a₃,…,a_n，2成等比數(shù)列，

所以a₁a_n=a₂a_n-1=a₃a_n-2=…=a_ka_n-k+1=…=1×2=2,

所以A_n²=(a₁a_n)(a₂a_n-1)(a₃a_n-2)…

(a_n-1a₂)(a_na₁)=(1×2)ⁿ=2ⁿ,所以A_n=.

因?yàn)?,b₁,b₂,b₃,…,b_n，2成等差數(shù)列，所以b₁+b_n=1+2=3,所以B_n=·n=n.

所以，數(shù)列{A_n}的通項(xiàng)A_n=，數(shù)列{B_n}的通項(xiàng)B_n=n.

(2)A_n=,B_n=n,

猜想當(dāng)n≥7時(shí)有2ⁿ＞n²，用數(shù)學(xué)歸納法證明.

①當(dāng)n=7時(shí)，已驗(yàn)證2ⁿ＞n²，命題成立.

②假設(shè)n=k(k≥7)時(shí)，命題成立，即2^k＞k²,

那么2^k+1＞2×k²,

又當(dāng)k≥7時(shí)，有k²＞2k+1,

所以2^k+1＞(k²+2k+1)=(k+1)².

這就是說當(dāng)n=k+1時(shí)，命題2ⁿ＞n²成立.

根據(jù)①②可知命題對(duì)n≥7都成立，故當(dāng)n≥7時(shí)，A_n＞B_n.