Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁棱長為1，P為側(cè)面BB₁C₁C內(nèi)的動點，且PA=2PB，則P點所形成軌跡圖形的長度為（　�。�

• A．

  2

• B．

  2 3

  3

  π
• C．π
• D．

  3

  6

  π

Answer 1

分析：以點D為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，可求得A，B的坐標(biāo)，設(shè)P（x，1，z）利用PA=2PB，可求得P點所形成軌跡方程，從而可得答案．

解答：解：以點D為坐標(biāo)原點，DA為x軸，DC為y軸，DD′為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（1，0，0），B（1，1，0），
∵P為側(cè)面BB₁C₁C內(nèi)的動點，故點P的縱坐標(biāo)為1，
設(shè)P（x，1，z），
則|PA|=

(x-1)2+(1-0)2+z2

，|PB|=

(x-1)2+(1-1)2+z2

，
∵PA=2PB，
∴(

(x-1)2+(1-0)2+z2

)2=4(

(x-1)2+(1-1)2+z2

)2，
∴（x-1）²+z²=

1

3

，
∴點P是以（1，1，0）為圓心，以

3

3

為半徑的球與面BB₁C₁C內(nèi)相交的圓面．
∴軌跡圖形的長度為該圓的周長2π×

3

3

=

2 3

3

π．
故選B．

點評：本題考查空間兩點間的距離公式，考查動點的軌跡方程，求得P點所形成軌跡方程是難點，也是關(guān)鍵，屬于中檔題．