【題目】已知橢圓C: =1(a>b>0)與y軸的交點(diǎn)為A,B(點(diǎn)A位于點(diǎn)B的上方),F(xiàn)為左焦點(diǎn),原點(diǎn)O到直線FA的距離為 b.
(1)求橢圓C的離心率;
(2)設(shè)b=2,直線y=kx+4與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,求證:直線BM與直線AN的交點(diǎn)G在定直線上.
【答案】
(1)解:設(shè)F的坐標(biāo)為(﹣c,0),依題意有bc= ab,
∴橢圓C的離心率e= = .
(2)解:若b=2,由(1)得a=2 ,∴橢圓方程為 .
聯(lián)立方程組
化簡(jiǎn)得:(2k2+1)x2+16kx+24=0,
由△=32(2k2﹣3)>0,解得:k2>
由韋達(dá)定理得:xM+xN= …①,xMxN= …②
設(shè)M(xM,kxM+4),N(xN,kxN+4),
MB方程為:y= x﹣2,…③
NA方程為:y= x+2,…④
由③④解得:y=
= = =1
即yG=1,
∴直線BM與直線AN的交點(diǎn)G在定直線上
【解析】(1)設(shè)F的坐標(biāo)為(﹣c,0),原點(diǎn)O到直線FA的距離為 b,列出方程,即可求解橢圓的離心率.(2)求出橢圓方程,聯(lián)立方程組 ,通過(guò)韋達(dá)定理,設(shè)M(xM , kxM+4),N(xN , kxN+4),
求出MB方程,NA方程,求出交點(diǎn)坐標(biāo),推出結(jié)果.
【考點(diǎn)精析】通過(guò)靈活運(yùn)用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,掌握橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)在x軸:,焦點(diǎn)在y軸:即可以解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)().
(1)若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,求實(shí)數(shù)的取值范圍;
(2)若,且有兩個(gè)極值點(diǎn), (),求取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某電影院共有1000個(gè)座位,票價(jià)不分等次,根據(jù)影院的經(jīng)營(yíng)經(jīng)驗(yàn),當(dāng)每張票價(jià)不超過(guò)10元時(shí),票可全售出;當(dāng)每張票價(jià)高于10元時(shí),每提高1元,將有30張票不能售出,為了獲得更好的收益,需給影院定一個(gè)合適的票價(jià),需符合的基本條件是:①為了方便找零和算賬,票價(jià)定為1元的整數(shù)倍;②電影院放一場(chǎng)電影的成本費(fèi)用支出為5750元,票房的收入必須高于成本支出,用x(元)表示每張票價(jià),用y(元)表示該影院放映一場(chǎng)的凈收入(除去成本費(fèi)用支出后的收入),問(wèn):
(1)把y表示為x的函數(shù),并求其定義域;
(2)試問(wèn)在符合基本條件的前提下,票價(jià)定為多少時(shí),放映一場(chǎng)的凈收人最多?
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某社區(qū)為豐富居民節(jié)日活動(dòng),組織了“迎新春”象棋大賽,已知報(bào)名的選手情況統(tǒng)計(jì)如下表:
組別 | 男 | 女 | 總計(jì) |
中年組 | 91 | ||
老年組 | 16 |
已知中年組女性選手人數(shù)是僅比老年組女性選手人數(shù)多2人,若對(duì)中年組和老年組分別利用分層抽樣的方法抽取部分報(bào)名者參加比賽,已知老年組抽取了5人,其中女性3人,中年組抽取了7人.
(1)求表格中的數(shù)據(jù);
(2)若從選出的中年組的選手中隨機(jī)抽取兩名進(jìn)行比賽,求至少有一名女性選手的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列滿足對(duì)任意的都有,且.
(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為,不等式對(duì)任意的正整數(shù)恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在統(tǒng)計(jì)學(xué)中,偏差是指?jìng)(gè)別測(cè)定值與測(cè)定的平均值之差,在成績(jī)統(tǒng)計(jì)中,我們把某個(gè)同學(xué)的某刻考試成績(jī)與該科班平均分的差叫某科偏差,班主任為了了解個(gè)別學(xué)生的偏科情況,對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)偏差(單位:分)與物理偏差(單位:分)之間的關(guān)系進(jìn)行偏差分析,決定從全班40位同學(xué)中隨機(jī)抽取一個(gè)容量為8的樣本進(jìn)行分析,得到他們的兩科成績(jī)偏差數(shù)據(jù)如表:
(1)已知與之間具有線性相關(guān)關(guān)系,求關(guān)于的線性回歸方程;
(2)若這次考試該班數(shù)學(xué)平均分為120分,物理平均分為92,試預(yù)測(cè)數(shù)學(xué)成績(jī)126分的同學(xué)的物理成績(jī).
參考公式: ,
參考數(shù)據(jù): ,
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對(duì)邊, = ,且a+c=2.
(1)求角B;
(2)求邊長(zhǎng)b的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線y2=4x,點(diǎn)M(1,0)關(guān)于y軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為N,直線l過(guò)點(diǎn)M交拋物線于A,B兩點(diǎn).
(1)證明:直線NA,NB的斜率互為相反數(shù);
(2)求△ANB面積的最小值;
(3)當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,0),(m>0且m≠1).根據(jù)(1)(2)推測(cè):△ABC面積的最小值是多少?(不必說(shuō)明理由)
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