Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0的圓M的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD互相垂直，且AC和BD分別在x軸和y軸上．
（1）求證：F＜0；
（2）若四邊形ABCD的面積為8，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為2，且

AB

•

AD

=0，求D²+E²-4F的值；
（3）設(shè)四邊形ABCD的一條邊CD的中點(diǎn)為G，OH⊥AB且垂足為H．試用平面解析幾何的研究方法判斷點(diǎn)O、G、H是否共線，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）證法一，利用原點(diǎn)在圓內(nèi)，圓心坐標(biāo)代入方程，方程的左邊小于0，直接證明F＜0；
證法二：A、C兩點(diǎn)分別在x軸正負(fù)半軸上．設(shè)A（a，0），C（c，0），則有ac＜0．利用x²+y²+Dx+Ey+F=0，當(dāng)y=0時(shí)，可得
x²+Dx+F=0，其中方程的兩根分別為點(diǎn)A和點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，推出x_Ax_C=ac=F．得到結(jié)論．  
（2）四邊形ABCD的面積為8，對(duì)角線AC的長(zhǎng)為2，且

AB

•

AD

=0，得到|BD|=8，推出r=4，即可求D²+E²-4F的值；
（3）設(shè)A，B，C，D的坐標(biāo)，求出點(diǎn)G的坐標(biāo)為(

c

2

，

d

2

)，即

OG

=(

c

2

，

d

2

)，通過AB⊥OH，證明G、O、H三點(diǎn)共線，只需證

AB

•

OG

=0即可．

解答：解：（1）證法一：由題意，原點(diǎn)O必定在圓M內(nèi)，即點(diǎn)（0，0）代入方程x²+y²+Dx+Ey+F=0的左邊后的值小于0，
于是有F＜0，即證．…（4分）
證法二：由題意，不難發(fā)現(xiàn)A、C兩點(diǎn)分別在x軸正負(fù)半軸上．設(shè)兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為
A（a，0），C（c，0），則有ac＜0．
對(duì)于圓方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，當(dāng)y=0時(shí)，可得x²+Dx+F=0，其中方程的兩根分別為點(diǎn)A和點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，于是有x_Ax_C=ac=F．   
因?yàn)閍c＜0，故F＜0．…（4分）
（2）不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)角線互相垂直的四邊形ABCD面積S=

|AC|•|BD|

2

，因?yàn)镾=8，|AC|=2，可得|BD|=8．…（6分）
又因?yàn)?span id="vzvvzkv" class="MathJye">

AB

•

AD

=0，所以∠A為直角，而因?yàn)樗倪呅问菆AM的內(nèi)接四邊形，故|BD|=2r=8⇒r=4．…（8分）
對(duì)于方程x²+y²+Dx+Ey+F=0所表示的圓，可知

D2

4

+

E2

4

-F=r2，所以D²+E²-4F=4r²=64．…（10分）
（3）證：設(shè)四邊形四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（a，0），B（0，b），C（c，0），D（0，d）．
則可得點(diǎn)G的坐標(biāo)為(

c

2

，

d

2

)，即

OG

=(

c

2

，

d

2

)．…（12分）
又

AB

=(-A，B)，且AB⊥OH，故要使G、O、H三點(diǎn)共線，只需證

AB

•

OG

=0即可．
而

AB

•

OG

=

bd-ac

2

，且對(duì)于圓M的一般方程x²+y²+Dx+Ey+F=0，
當(dāng)y=0時(shí)可得x²+Dx+F=0，其中方程的兩根分別為點(diǎn)A和點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，
于是有x_Ax_C=ac=F．…（14分）
同理，當(dāng)x=0時(shí)，可得y²+Ey+F=0，其中方程的兩根分別為點(diǎn)B和點(diǎn)D的縱坐標(biāo)，于是有y_By_D=bd=F．
所以，

AB

•

OG

=

bd-ac

2

=0，即AB⊥OG．
故O、G、H必定三點(diǎn)共線．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系，圓的方程的應(yīng)用，解析法證明問題的方法，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．