Question

【題目】在如圖所示的六面體中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，四邊形ABEF是梯形，，平面平面ABEF，BE＝2AF=2，EF.

（1）在圖中作出平面ABCD與平面DEF的交線，并寫出作圖步驟，但不要求證明；

（2）求證：平面DEF；

（3）求平面ABEF與平面ECD所成銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）證明見解析（3）

【解析】

（1）延長BA與EF相交于點P,連接PD，則直線PD就是平面ABCD與平面DEF的交線;

（2）證明四邊形ACDP是平行四邊形，可得，由線面平行的判定定理可得平面DEF；

（3）在平面ABEF內，過點A作FE的平行線交BE于點G，可得為直角三角形，

在平面ABEF內，過點A作AB的垂線交EF于點H，可得面ABCD，以A為坐標原點，AD的方向為x軸正方向，AB的方向為y軸正方向，AH的方向為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，利用空間向量法可得平面ABEF與平面ECD所成銳二面角的余弦值.

解：（1）延長BA與EF相交于點P,連接PD，則直線PD就是平面ABCD與平面DEF的交線;

（2）因為，所以AF是的中位線，故，

因為，所以，且，

所以四邊形ACDP是平行四邊形，所以，

因為面DEF，面DEF，

所以平面DEF

（3）在平面ABEF內，過點A作FE的平行線交BE于點G，又，所以四邊形AGEF為平行四邊形，

所以，

又因為，所以，

所以為直角三角形，

且

在平面ABEF內，過點A作AB的垂線交EF于點H，

又因為平面平面ABEF，平面平面，

所以面ABCD.

以A為坐標原點，AD的方向為x軸正方向，AB的方向為y軸正方向，AH的方向為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.

則，所以，

設是平面ECD的法向量，

則，即，所以可取.

因為是平面ABEF的法向量，

所以，

所以平面ABEF與平面ECD所成銳二面角的余弦值.