Question

已知三棱柱ABC-A₁B₁C₁中底面邊長和側(cè)棱長為a，側(cè)面A₁ACC₁⊥底面△ABC，A₁B=

6

2

a．
（1）求異面直線AC與BC₁所成角的余弦值．
（2）求證：A₁B⊥平面AB₁C．

Answer 1

分析：（1）如圖過點(diǎn)B作BO⊥AC，可得BO⊥側(cè)面ACC₁A₁，連結(jié)A₁O，可得A₁O⊥底面ABC．根據(jù)A₁C₁∥AC，可得∠BC₁A₁或其補(bǔ)角為異面直線AC與BC₁所成的角．
在Rt△A₁BC₁中，解三角形求得cos∠BC₁A₁的值．
（2）由四邊形ABB₁A₁為菱形，可得AB₁⊥A₁B．又由（1）可得A₁B⊥AC，利用直線和平面垂直的判定定理證得A₁B⊥面AB₁C．

解答：解：（1）如圖過點(diǎn)B作BO⊥AC，垂足為點(diǎn)O，則由側(cè)面A₁ACC₁⊥底面△ABC，
可得BO⊥側(cè)面ACC₁A₁，連結(jié)A₁O．
在Rt△A₁BO中，A₁B=

6 a

2

，BO=

3

2

a，∴A₁O=

3

2

a．
又AA₁=a，AO=

a

2

，∴△A₁AO為直角三角形，∴A₁O⊥AC，A₁O⊥底面ABC．
∵A₁C₁∥AC，∴∠BC₁A₁或其補(bǔ)角為異面直線AC與BC₁所成的角．
∵A₁O⊥面ABC，AC⊥BO，∴AC⊥A₁B，∴A₁C₁⊥A₁B．
在Rt△A₁BC₁中，A₁B=

6

2

a，A₁C₁=a，∴BC₁=

10

2

a，∴cos∠BC₁A₁=

10

5

．
∴異面直線AC與BC₁所成角的余弦值為

10

5

．
（2）∵四邊形ABB₁A₁為菱形，∴AB₁⊥A₁B．
又由（1）可得A₁B⊥AC，而AC∩AB₁=A，∴A₁B⊥面AB₁C．

點(diǎn)評：本題主要考查異面直線所成的角的定義和求法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，直線和平面垂直的判定定理的應(yīng)用，屬于中檔題．