【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),判斷函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若恒成立,求的取值范圍;
(3)已知,證明.
【答案】(1)當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,單調(diào)遞減;
(2);
(3)證明過程見解析
【解析】
(1)先求函數(shù)的定義域,再求導(dǎo)數(shù),分別令和即可求出單調(diào)性;(2)分離變量得恒成立,轉(zhuǎn)化為求的最大值,然后求導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性即可求出的最大值,從而求得結(jié)果;(3)對兩邊取對數(shù),化簡變形可得,由(2)可知在上單調(diào)遞減,結(jié)合條件即可證明.
由題意可知,函數(shù)的定義域?yàn)椋?/span>且.
(1)當(dāng)時(shí),,
若,則 ; 若,則 ,
所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增,單調(diào)遞減.
(2)若恒成立,則恒成立,
又因?yàn)?/span>,所以分離變量得恒成立,
設(shè),則,所以,
當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),,
即函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí),函數(shù)取最大值,,所以.
(3)欲證,兩邊取對數(shù),只需證明,
只需證明,即只需證明,
由(2)可知在上單調(diào)遞減,且,
所以,命題得證.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】記拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在拋物線上,,斜率為的直線與拋物線交于兩點(diǎn).
(1)求的最小值;
(2)若,直線的斜率都存在,且;探究:直線是否過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】由0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字任取三個(gè)數(shù)字,組成能被3整除的沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù),共有( )個(gè).
A. 14B. 16C. 18D. 20
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】隨機(jī)抽取某中學(xué)甲、乙兩班各10名同學(xué),測量他們的身高(單位:cm),獲得身高數(shù)據(jù)的莖葉圖如圖所示.
(1)試比較甲、乙兩班分別抽取的這10名同學(xué)身高的中位數(shù)大。
(2)現(xiàn)從乙班這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取兩名身高不低于173cm的同學(xué),求身高176cm的同學(xué)被抽到的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的焦點(diǎn)到短軸的端點(diǎn)的距離為,離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),過點(diǎn)作平行于軸的直線,交直線于點(diǎn),求證:直線恒過定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】從甲、乙兩種樹苗中各抽測了10株樹苗的高度,其莖葉圖如圖.根據(jù)莖葉圖,下列描述正確的是( )
A.甲種樹苗的平均高度大于乙種樹苗的平均高度,且甲種樹苗比乙種樹苗長得整齊
B.甲種樹苗的平均高度大于乙種樹苗的平均高度,但乙種樹苗比甲種樹苗長得整齊
C.乙種樹苗的平均高度大于甲種樹苗的平均高度,且乙種樹苗比甲種樹苗長得整齊
D.乙種樹苗的平均高度大于甲種樹苗的平均高度,但甲種樹苗比乙種樹苗長得整齊
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d),若曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點(diǎn)P(0,2),且在點(diǎn)P處有相同的切線y=4x+2.
(1)求a,b,c,d的值;
(2)若x≥-2時(shí),恒有f(x)≤kg(x),求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)若,求曲線在點(diǎn)處的切線方程;
(2)若只有一個(gè)零點(diǎn),且,求的取值范圍.
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