Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系 中，已知曲線 ： （ 為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系 的原點(diǎn) 為極點(diǎn)， 軸的正半軸為極軸，取相同的單位長度建立極坐標(biāo)系，已知直線 ： .
（1）將曲線 上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)分別伸長為原來的 、2倍后得到曲線 ，試寫出直線 的直角坐標(biāo)方程和曲線 的參數(shù)方程；
（2）在曲線 上求一點(diǎn) ，使點(diǎn) 到直線 的距離最大，并求出此最大值.

Answer 1

【答案】
（1）解: 由題意知，直線 的直角坐標(biāo)方程為：

∵曲線 的直角坐標(biāo)方程為：

∴曲線 的參數(shù)方程為： （ 為參數(shù)）

（2）解: 設(shè)點(diǎn) 的坐標(biāo) ，則點(diǎn) 到直線 的距離為：

，

∴當(dāng) 時(shí)，點(diǎn) ，此時(shí)

【解析】(1)由題意利用極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化關(guān)系得出直線的l的普通方程，根據(jù)圖像的變換求出曲線的普通方程再轉(zhuǎn)化為參數(shù)方程。(2)由題意可直接設(shè)出點(diǎn)p在極坐標(biāo)下的坐標(biāo)，代入到點(diǎn)到直線的距離公式中，結(jié)合正弦值得最大值得出距離的最大值。