Question

在△ABC中，給出下列四個命題：
①若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形；
②若sinA=cosB，則△ABC是直角三角形；
③若cosA•cosB•cosC＜0，則△ABC是鈍角三角形；
④若cos（A-B）•cos（B-C）•cos（C-A）=1，則△ABC是等邊三角形．
以上命題正確的是

 

（填命題序號）．

Answer 1

分析：①若sin2A=sin2B，則 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B 或C=

π

2

，可知①不正確．
②若sinA=cosB，找出∠A和∠B的反例，即可判斷則△ABC是直角三角形錯誤，故②不正確．
③若cosA•cosB•cosC＜0，cosA、cosB、cosC兩個是正實數(shù)，一個是負數(shù)，故A、B、C中兩個是銳角，一個是鈍角，
故③正確．
④若cos（A-B）•cos（B-C）•cos（C-A）=1 可得 A=B=C，故△ABC是等邊三角形，故④正確．

解答：解：①若sin2A=sin2B，則 2A=2B，或 2A+2B=π，即A=B 或C=

π

2

，故△ABC為等腰三角形 或直角三角形，故①不正確．
②若sinA=cosB，例如∠A=100°和∠B=10°，滿足sinA=cosB，則△ABC不是直角三角形，故②不正確．
③若cosA•cosB•cosC＜0，則由三角形各個內(nèi)角的范圍及內(nèi)角和等于180° 知，cosA、cosB、cosC兩個是正實數(shù)，
一個是負數(shù)，故A、B、C中兩個是銳角，一個是鈍角，故③正確．
④若cos（A-B）•cos（B-C）•cos（C-A）=1，則由三角形各個內(nèi)角的范圍及內(nèi)角和等于180° 知，
cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，故有 A=B=C，故△ABC是等邊三角形，故④正確．
故答案為 ③④．

點評：本題考查判斷三角形的形狀的方法，注意角的范圍及內(nèi)角和等于180°，屬于中檔題．