Question

已知向量

a

=（cosωx，sinωx），

b

=（cosωx，

3

cosωx），其中（0＜ω＜2）．函數(shù)f(x)=

a

•

b

-

1

2

，其圖象的一條對稱軸為x=

π

6

．
（1）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式及單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）在△ABC中，a、b、c分別為角A、B、C的對邊，S為其面積，若f(

A

2

)=1，b=l，S_△ABC=

3

，求BC邊上的中線AD的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算法則，由兩向量的坐標(biāo)，化簡函數(shù)f（x）的解析式，分別利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式變形后，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個角的正弦函數(shù)，由x=

π

6

為函數(shù)的一條對稱軸，把x=

π

6

代入化簡后的函數(shù)解析式中，令其值等于±1，得到正弦函數(shù)的角度等于kπ+

π

2

，由ω的范圍，即可求出ω的值，確定出函數(shù)f（x）的解析式，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，列出關(guān)于x的不等式，求出x的范圍即可得到函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由f(

A

2

)=1，代入函數(shù)解析式得到sin（A+

π

6

）=1，根據(jù)A的范圍求出A+

π

6

的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，由sinA，b的值，以及三角形的面積，利用面積公式求出c的值，如圖，延長AD到E，使AD=DE，連接BE，EC，則四邊形ABEC為平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等，得到鄰角互補，根據(jù)∠BAC的度數(shù)求出∠ABE的度數(shù)，且得到BE=AC=b，AB=c，在三角形ABE中，利用余弦定理求出AE的長，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，即D為AE中點，由AE的長除以2即可得到AD的長．

解答：解：（1）f(x)=

a

•

b

-

1

2

=cos²ωx+

3

sinωxcosωx-

1

2

=

1+cos2ωx

2

+

3

2

sin2ωx-

1

2

=sin（2ωx+

π

6

），（3分）
當(dāng)x=

π

6

時，sin（

ωπ

3

+

π

6

）=±1，即

ωπ

3

+

π

6

=kπ+

π

2

，
∵0＜ω＜2，∴ω=1，（5分）
∴f（x）=sin（2x+

π

6

），
∵-

π

2

+2kπ≤2x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，
∴kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈Z，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；（7分）
（2）∵f（

A

2

）=sin（A+

π

6

）=1，在△ABC中，0＜A＜π，則

π

6

＜A+

π

6

＜

7π

6

，
∴A+

π

6

=

π

2

，則A=

π

3

，
由S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

，b=1，得c=4，（9分）

如圖，延長AD到E，使AD=DE，連接BE，EC，
則四邊形ABEC為平行四邊形，
∴∠ABE=

2π

3

，AB=4，BE=1，
∴AE²=AB²+BE²-2AB•BEcos

2π

3

=21，
∴AD=

AE

2

=

21

2

．（12分）

點評：此題考查了平面向量的數(shù)量積運算，余弦定理，三角形的面積公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的周期性及單調(diào)性，以及特殊角的三角函數(shù)值，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．