Question

【題目】在一個特定時段內，以點E為中心的7海里以內海域被設為警戒水域．點E正北55海里處有一個雷達觀測站A．某時刻測得一艘勻速直線行駛的船只位于點A北偏東45°且與點A相距40 海里的位置B，經過40分鐘又測得該船已行駛到點A北偏東45°+θ（其中sinθ= ，0°＜θ＜90°）且與點A相距10 海里的位置C． （Ⅰ）求該船的行駛速度（單位：海里/小時）；
（Ⅱ）若該船不改變航行方向繼續(xù)行駛．判斷它是否會進入警戒水域，并說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）如圖，
AB=40 ，AC=10 ， ．
由于0°＜θ＜90°，所以cosθ= ．
由余弦定理得BC= ．
所以船的行駛速度為 （海里/小時）．
（Ⅱ）如圖所示，設直線AE與BC的延長線相交于點Q．

在△ABC中，由余弦定理得，
= = ．
從而 ．
在△ABQ中，由正弦定理得，
AQ= ．
由于AE=55＞40=AQ，所以點Q位于點A和點E之間，且QE=AE﹣AQ=15．
過點E作EP⊥BC于點P，則EP為點E到直線BC的距離．
在Rt△QPE中，PE=QEsin∠PQE=QEsin∠AQC=QEsin（45°﹣∠ABC）
= ．
所以船會進入警戒水域．
【解析】（1）先根據(jù)題意畫出簡圖確定AB、AC、∠BAC的值，根據(jù)sinθ= 求出θ的余弦值，再由余弦定理求出BC的值，從而可得到船的行駛速度．（2）先假設直線AE與BC的延長線相交于點Q，根據(jù)余弦定理求出cos∠ABC的值，進而可得到sin∠ABC的值，再由正弦定理可得AQ的長度，從而可確定Q在點A和點E之間，根據(jù)QE=AE﹣AQ求出QE的長度，然后過點E作EP⊥BC于點P，則EP為點E到直線BC的距離，進而在Rt△QPE中求出PE的值在于7進行比較即可得到答案．