【題目】證明:1﹣ ≤ln(x+1)≤x,其中x>﹣1.
【答案】證明:①構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(x+1)﹣x, ∵f′(x)= ,(x>﹣1),當(dāng)x=0,f′(0)=0,得下表
X | ﹣1<x<0 | 0 | x>0 |
f′(x) | + | 0 | ﹣ |
f(x) | 單調(diào)遞增 | 極大值f(0)=0 | 單調(diào)遞減 |
∴x>﹣1總有f(x)≤f(0)=0,∴l(xiāng)n(x+1)﹣x≤0,∴l(xiāng)n(x+1)≤x;
②構(gòu)造函數(shù)g(x)=ln(x+1)+ ﹣1,∵g′(x)= ,
當(dāng)x=0,g′(0)=0,當(dāng)﹣1<x<0,g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x>0,g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增;∴x=0,g(x)極小值=g(x)min=g(0)=0,
∴x>﹣1時(shí),總有g(shù)(x)≥g(0)=0,∴l(xiāng)n(x+1)+ ﹣1≥0,
即:1﹣ ≤ln(1+x),
綜上①②不等式1﹣ ≤ln(x+1)≤x成立
【解析】分別構(gòu)造函數(shù)f(x)=ln(x+1)﹣x,g(x)=ln(x+1)+ ﹣1,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最值,從而證出結(jié)論.
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的相關(guān)知識點(diǎn),需要掌握求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟:(1)求函數(shù)在內(nèi)的極值;(2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值,比較,其中最大的是一個(gè)最大值,最小的是最小值才能正確解答此題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知圓O:x2+y2=4.
(1)直線l1: 與圓O相交于A、B兩點(diǎn),求|AB|;
(2)如圖,設(shè)M(x1 , y1)、P(x2 , y2)是圓O上的兩個(gè)動點(diǎn),點(diǎn)M關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為M1 , 點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為M2 , 如果直線PM1、PM2與y軸分別交于(0,m)和(0,n),問mn是否為定值?若是求出該定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)面AA1B1B為正方形,側(cè)面BB1C1C為菱形,∠CBB1=60°,AB⊥B1C.
(1)求證:平面AA1B1B⊥平面BB1C1C;
(2)若AB=2,求三棱柱ABC—A1B1C1的體積.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?/span>,并且滿足,且,當(dāng)時(shí),.
(1)求的值;
(2)判斷函數(shù)的奇偶性,并給出證明;
(3)如果,求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若函數(shù)f(x)=e|x﹣a|(a∈R)滿足f(1+x)=f(﹣x),且f(x)在區(qū)間[m,m+1]上是單調(diào)函數(shù),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
設(shè)函數(shù)f(x)=x2-x-15,且|x-a|<1,
(1)解不等式;
(2)求證:|f(x)-f(a)|<2(|a|+1).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】宿州市某登山愛好者為了解山高y(百米)與氣溫x(℃)之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4次山高與相應(yīng)的氣溫,并制作了對照表,由表中數(shù)據(jù),得到線性回歸方程為y=﹣2x+a,由此估計(jì)山高為72(百米)處的氣溫為( )
氣溫x(℃) | 18 | 13 | 10 | ﹣1 |
山高y(百米) | 24 | 34 | 38 | 64 |
A.﹣10
B.﹣8
C.﹣6
D.﹣4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx
(1)若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)在它們的交點(diǎn)(1,c)處具有公共切線,求a、b的值;
(2)當(dāng)a2=4b時(shí),求函數(shù)f(x)+g(x)的單調(diào)區(qū)間,并求其在區(qū)間(﹣∞,﹣1)上的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】函數(shù)f(x)=x2+ax+3,已知不等式f(x)<0的解集為{x|1<x<3}.
(1)求a;
(2)若不等式f(x)≥m的解集是R,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)若f(x)≥nx對任意的實(shí)數(shù)x≥1成立,求實(shí)數(shù)n的取值范圍.
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