Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x-ae^x-1．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若f（x）≤0對(duì)x∈R恒成立，求a的取值范圍；
（Ⅲ）對(duì)任意n的個(gè)正整數(shù)a₁，a₂，…a_n記A=

a1+a2+…+an

n

（1）求證：

ai

A

≤e

ai

A

-1（i=1，2，3…n）（2）求證：A≥

n	a1a2…an

．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)已知中的函數(shù)的解析式，我們易求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的解析式，分類討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，即可得到答案．
（II）根據(jù)（I）的結(jié)論我們易當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）≤0不恒成立，當(dāng)a＞0時(shí)，僅須函數(shù)的最大值小于0即可，由此構(gòu)造關(guān)于a的不等式即可得到答案．
（III）（1）由（II）的結(jié)論我們可以得到f（x）=x-e^x-1≤0恒成立，故

ai

A

≤e

ai

A

-1（i=1，2，3…n）成立；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，我們分別取i=1，2，3…n，i=1，2，3…n，得到n個(gè)不等式，根據(jù)不等式的性質(zhì)相乘后，即可得到結(jié)論．

解答：解：（I）∵函數(shù)f（x）=x-ae^x-1．
∴函數(shù)f′（x）=1-ae^x-1．
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，則f（x）在R上是增函數(shù)
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）=0得x=1-lna，則f（x）在區(qū)間（-∞，1-lna）上是增函數(shù)，在區(qū)間（1-lna，+∞）上是減函數(shù)
綜上可知：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在R上是增函數(shù)；當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在區(qū)間（-∞，1-lna）上是增函數(shù)，在區(qū)間（1-lna，+∞）上是減函數(shù)．
（II）由（I）可知：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）≤0不恒成立
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在點(diǎn)x=1-lna時(shí)取最大值-lna，
令-lna≤0，則a≥1
故若f（x）≤0對(duì)x∈R恒成立，則a的取值范圍為[1，+∞）
（III）（1）由（II）知：當(dāng)a=1時(shí)恒有f（x）=x-e^x-1≤0成立
即x≤e^x-1
∴

ai

A

≤e

ai

A

-1
（2）由（1）知：

a1

A

≤e

a1

A

-1，

a2

A

≤e

a2

A

-1，…，

an

A

≤e

an

A

-1
把以上n個(gè)式子相乘得

a1•a2•…•an

An

≤e

a1+a2+…+an

A

-n=1
∴Aⁿ≥a₁•a₂•_…•a_n
故A≥

n	a1•a2•…•an

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，其中根據(jù)已知條件中函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)的解析式，并分析導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)是解答本題的關(guān)鍵．