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設函數f(x)=x+
alnx
x
，其中a為常數．
（1）證明：對任意a∈R，y=f（x）的圖象恒過定點；
（2）當a=-1時，判斷函數y=f（x）是否存在極值？若存在，求出極值；若不存在，說明理由；
（3）若對任意a∈（0，m]時，y=f（x）恒為定義域上的增函數，求m的最大值．
（1）令lnx=0，得x=1，且f（1）=1，
所以y=f（x）的圖象過定點（1，1）；
（2）當a=-1時，f(x)=x-
lnx
x
，f/(x)=1-
1-lnx
x2
=
x2+lnx-1
x2

令g（x）=x2+lnx-1，經觀察得g（x）=0有根x=1，下證明g（x）=0無其它根．g/(x)=2x+
1
x
，
當x＞0時，g/（x）＞0，即y=g（x）在（0，+∞）上是單調遞增函數．
所以g（x）=0有唯一根x=1；
且當x∈（0，1）時，f/(x)=
g(x)
x2
＜0，f（x）在（0，1）上是減函數；
當x∈（1，+∞）時，f/(x)=
g(x)
x2
＞0，f（x）在（1，+∞）上是增函數
所以x=1是f（x）的唯一極小值點．極小值是f(1)=1-
ln1
1
=1．
（3）f/(x)=1+
a-alnx
x2
=
x2-alnx+a
x2
，令h（x）=x2-alnx+a
由題設，對任意a∈（0，m]，有h（x）≥0，x∈（0，+∞），
又h/(x)=
2x2-a
x
=
2(x-
a
2
)(x+
a
2
)
x

當x∈(0，
a
2
)
時，h/（x）＜0，h（x）是減函數；
當x∈(
a
2
，+∞)時，h/（x）＞0，h（x）是增函數；
所以當x=
a
2
時，h（x）有極小值，也是最小值h(
a
2
)=(
3
2
-ln
a
2
)a，
又由h（x）≥0得(
3
2
-ln
a
2
)a≥0，得a≤2e3，即m的最大值為2e3．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）=p（x-
1
x
）-2lnx，g（x）=
2e
x
（p是實數，e為自然對數的底數）
（1）若f（x）在其定義域內為單調函數，求p的取值范圍；
（2）若直線l與函數f（x），g（x）的圖象都相切，且與函數f（x）的圖象相切于點（1，0），求p的值；
（3）若在[1，e]上至少存在一點x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范圍．

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）的定義域為D，若存在非零實數l使得對于任意x∈M（M⊆D），有x+l∈D，且f（x+1）≥f（x），則稱f（x）為M上的高調函數．現給出下列三個命題：
①函數f(x)=(
12
)x為R上的l高調函數；
②函數f（x）=sin2x為R上的π高調函數；
③如果定義域是[-1，+∞）的函數f（x）=x2為[-1，+∞）上的m高調函數，那么實數m的取值范圍[2，+∞）；
其中正確的命題是
②③
②③
（填序號）

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科目：高中數學 來源： 題型：

設函數f（x）是定義在R上的偶函數，且f（x+2）=f（x）恒成立；當x∈[0，1]時，f（x）=x3-4x+3．有下列命題：
①f(-
3
4
) ＜f(
15
2
)；
②當x∈[-1，0]時f（x）=x3+4x+3；
③f（x）（x≥0）的圖象與x軸的交點的橫坐標由小到大構成一個無窮等差數列；
④關于x的方程f（x）=|x|在x∈[-3，4]上有7個不同的根．
其中真命題的個數為（　�。�

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科目：高中數學 來源：徐州模擬 題型：解答題

設函數f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函數y=f（x）圖象上的點到直線x-y-3=0距離的最小值為2
2
，求a的值；
（2）關于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整數恰有3個，求實數a的取值范圍；
（3）對于函數f（x）與g（x）定義域上的任意實數x，若存在常數k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，則稱直線y=kx+m為函數f（x）與g（x）的“分界線”．設a=
2
2
，b=e，試探究f（x）與g（x）是否存在“分界線”？若存在，求出“分界線”的方程；若不存在，請說明理由．

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