Question

已知，函數(shù).

（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當有兩個極值點（設為和）時，求證：.

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求出函數(shù)的導函數(shù)，確定導數(shù)的符號，實質(zhì)上就是確定分子的正負，從而確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，即對分子的的符號進行分類討論，從而確定的符號情況，進而確定函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；（2）根據(jù)、與之間的關系，結合韋達定理得出以及的表達式，代入所證的不等式中，利用分析法將所要證的不等式轉(zhuǎn)化為證明不等式，利用作差法，構造新函數(shù)，利用導數(shù)圍繞來證明.

試題解析：（1），

，考慮分子

當，即時，在上，恒成立，此時在上單調(diào)遞增；

當，即時，方程有兩個解不相等的實數(shù)根：，，顯然，

當或時，；當時，；

函數(shù)在上單調(diào)遞減，

在和上單調(diào)遞增.

（2）、是的兩個極值點，故滿足方程，

即、是的兩個解，，

而在中，，

因此，要證明，

等價于證明，

注意到，只需證明，即證，

令，則，

當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

因此，從而，即，原不等式得證.

考點：1.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；2.分類討論；3.分析法；4.構造新函數(shù)證明函數(shù)不等式