Question

已知．
（I）求函數f（x）的最小值；
（ II）（i）設0＜t＜a，證明：f（a+t）＜f（a-t）．
（ii）若f（x₁）=f（x₂），且x₁≠x₂．證明：x₁+x₂＞2a．

Answer 1

（Ⅰ）解：函數的定義域為（0，+∞）．求導數，可得f′（x）=x-=．…（1分）
當x∈（0，a）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減；當x∈（a，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．
當x=a時，f（x）取得極小值也是最小值f（a）=a²-a²lna．…（4分）
（Ⅱ）證明：（ⅰ）設g（t）=f（a+t）-f（a-t），則
當0＜t＜a時，g′（t）=f′（a+t）+f′（a-t）=a+t-+a-t-=＜0，…（6分）
所以g（t）在（0，a）單調遞減，g（t）＜g（0）=0，即f（a+t）-f（a-t）＜0，
故f（a+t）＜f（a-t）．…（8分）
（ⅱ）由（Ⅰ），f（x）在（0，a）單調遞減，在（a，+∞）單調遞增，
不失一般性，設0＜x₁＜a＜x₂，
因0＜a-x₁＜a，則由（�。�，得f（2a-x₁）=f（a+（a-x₁））＜f（a-（a-x₁））=f（x₁）=f（x₂），…（11分）
又2a-x₁，x₂∈（a，+∞），
故2a-x₁＜x₂，即x₁+x₂＞2a．…（12分）
分析：（Ⅰ）確定函數的定義域，并求導函數，確定函數的單調性，可得x=a時，f（x）取得極小值也是最小值；
（Ⅱ）（�。�構造函數g（t）=f（a+t）-f（a-t），當0＜t＜a時，求導函數，可知g（t）在（0，a）單調遞減，所以g（t）＜g（0）=0，即可證得；
（ⅱ）由（Ⅰ），f（x）在（0，a）單調遞減，在（a，+∞）單調遞增，不失一般性，設0＜x₁＜a＜x₂，所以0＜a-x₁＜a，利用（ⅰ）即可證得結論．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性、極值、最值，考查不等式的證明，解題的關鍵是構造函數，確定函數的單調性．