Question

(本小題滿分14分)設(shè),函數(shù).

(1) 若，求曲線在處的切線方程；

(2) 若無零點,求實數(shù)的取值范圍；

(3) 若有兩個相異零點,求證: .

 

Answer 1

【答案】

(1) ；

(2) ；

(3)見解析

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義的運用，以及求解函數(shù)的零點的運算，和不等式的綜合運用。

（1）由于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)在沒一點的切線的斜率得到切線的斜率和點的坐標(biāo)，從而得到切線方程。

（2）由于函數(shù)無零點，說明圖像與x沒有交點，函數(shù)無零點方程即在上無實數(shù)解。利用導(dǎo)數(shù)判定單調(diào)性得到極值進而得到結(jié)論。

（3）原不等式

設(shè)函數(shù),結(jié)合導(dǎo)數(shù)分析證明。

解：方法一

在區(qū)間上,.  ……………………1分

（1）當(dāng)時，，則切線方程為，即 …………3分

（2）①若,則,是區(qū)間上的增函數(shù),  

,,

,函數(shù)在區(qū)間有唯一零點.  …………6分

②若,有唯一零點.    …………7分

③若,令得: .               

在區(qū)間上, ,函數(shù)是增函數(shù);

在區(qū)間上, ,函數(shù)是減函數(shù);

故在區(qū)間上, 的極大值為.

由即,解得:.

故所求實數(shù)a的取值范圍是.    …………9分

方法二、函數(shù)無零點方程即在上無實數(shù)解…………4分

令，則

由即得：        …………6分

在區(qū)間上, ,函數(shù)是增函數(shù);

在區(qū)間上, ,函數(shù)是減函數(shù);

故在區(qū)間上, 的極大值為.  …………7分

注意到時，；時；時，故方程在上無實數(shù)解.

即所求實數(shù)a的取值范圍是.      …………9分

[注:解法二只說明了的值域是,但并沒有證明.]

(3) 設(shè)

,

原不等式

令,則,于是.…………12分

設(shè)函數(shù),

求導(dǎo)得:

故函數(shù)是上的增函數(shù),

即不等式成立,故所證不等式成立.………14分