設(shè)數(shù)列{an}滿足an＞0，（n∈N+），其前n項(xiàng)和為Sn，且
a
3
1
+
a
3
2
+
a
3
3
+…+
a
3
n
=
S
2
n

（1）求an+1與Sn之間的關(guān)系，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）令Tn=
1
a1
a
 
2
+
1
a2
a
 
3
+…+
1
an
a
 
n+1
，求證：
n
i=1
[(1-
Ti
Ti+1
)
1
Ti+1
]＜2(
2
-1)．．
分析：（1）利用
a
3
1
+
a
3
2
+
a
3
3
+…+
a
3
n
=
S
2
n
，可得
a
3
1
+
a
3
2
+
a
3
3
+…+
a
3
n+1
=
S
2
n+1
，兩式相減，即可求得an+12-an+1=2Sn，再寫一式，兩式相減，即可證得數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，從而可求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
（2）根據(jù)
1
anan+1
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，可得Tn=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1)
=
n
n+1
，從而可證(1-
Ti
Ti+1
)
1
Ti+1
=(
1
Ti
-
1
Ti+1
)
Ti
Ti+1
＜2(
1
Ti
-
1
Ti+1
)，即可得出結(jié)論．
解答：解：（1）由已知得，當(dāng)n=1時(shí)，a13=S12=a12，
又∵an＞0，∴a1=1
∵
a
3
1
+
a
3
2
+
a
3
3
+…+
a
3
n
=
S
2
n
①，
a
3
1
+
a
3
2
+
a
3
3
+…+
a
3
n+1
=
S
2
n+1
②
②-①an+13=
S
2
n+1
-Sn2
∵an+1＞0，∴Sn+1+Sn=an+12
∴an+1+2Sn=an+12
∴an+12-an+1=2Sn①
當(dāng)n≥2時(shí)，an2-an=2Sn-1②
①-②（an-an-1-1）（an+an-1）=0
∵an+an-1＞0，∴an-an-1=1（n≥2）
故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
∴an=n（n∈N*）
（2）∵
1
anan+1
=
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1

∴Tn=(1-
1
2
)+(
1
2
-
1
3
)+…+(
1
n
-
1
n+1)
=
n
n+1

∵
Ti
Ti+1
=
i(i+2)
(i+1)2
＜1，∴(1-
Ti
Ti+1
)
1
Ti+1
=(
1
Ti
-
1
Ti+1
)
Ti
Ti+1
＜2(
1
Ti
-
1
Ti+1
)
∴
n
i=1
[(1-
Ti
Ti+1
)
1
Ti+1
]＜2(
1
T1
-
1
Tn+1
)=2(
2
-
n+2
n+1
)＜2(
2
-1)
點(diǎn)評：本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合題，考查裂項(xiàng)法求和，考查放縮法的運(yùn)用．在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了數(shù)列通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的知識．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，且對任意的n∈N*，點(diǎn)Pn（n，an）都有
.
PnPn+1
=(1，2)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•日照一模）若數(shù)列{bn}：對于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常數(shù)），則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列．如：若cn=
4n-1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)
4n+9，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí).
則{cn}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列．
（I）設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=a，對于n∈N*，都有an+an+1=2n．求證：{an}為準(zhǔn)等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式：
（Ⅱ）設(shè)（I）中的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，試研究：是否存在實(shí)數(shù)a，使得數(shù)列Sn有連續(xù)的兩項(xiàng)都等于50．若存在，請求出a的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•日照一模）若數(shù)列{bn}：對于n∈N*，都有bn+2-bn=d（常數(shù)），則稱數(shù)列{bn}是公差為d的準(zhǔn)等差數(shù)列．如數(shù)列cn：若cn=
4n-1，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)
4n+9，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)
，則數(shù)列{cn}是公差為8的準(zhǔn)等差數(shù)列．設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=a，對于n∈N*，都有an+an+1=2n．
（Ⅰ）求證：{an}為準(zhǔn)等差數(shù)列；
（Ⅱ）求證：{an}的通項(xiàng)公式及前20項(xiàng)和S20．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足a1=1，a2+a4=6，且對任意n∈N*，函數(shù)f（x）=（an-an+1+an+2）x+an+1?cosx-an+2sinx滿足f′(
π
2
)=0若cn=an+
1
2an
，則數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Sn為（　�。�
A、
n2+n
2
-
1
2n
B、
n2+n+4
2
-
1
2n-1
C、
n2+n+2
2
-
1
2n
D、
n2+n+4
2
-
1
2n

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1=2，an+1=1-
1
an
，令An=a1a2…an，則A2013=（　�。�

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