Question

（本小題滿分14分）

已知數(shù)列滿足：（其中常數(shù)）．

（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（Ⅱ）求證：當(dāng)時(shí)，數(shù)列中的任何三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列；

（Ⅲ）設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和．求證：若任意，

 

Answer 1

【答案】

（1）a_n＝(2n＋1)·λ^n－1 (n∈N^*)．（2）運(yùn)用反證法思想 ，假設(shè)存在a_r，a_s，a_t成等比數(shù)列，然后推理論證得出矛盾。

（3）運(yùn)用數(shù)列的通項(xiàng)公式以及數(shù)列的錯(cuò)位相減法的求和來(lái)證明，不等式的成立。

【解析】

試題分析：解：（Ⅰ）當(dāng)n＝1時(shí)，a₁＝3．

當(dāng)n≥2時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013040509543185933188/SYS201304050955253906273428_DA.files/image001.png">，             ①

所以．           ②

①－②得，所以a_n＝(2n＋1)·λ^n－1（n≥2，n∈N^*）．……………… 3分

又 a₁＝3也適合上式，

所以a_n＝(2n＋1)·λ^n－1 (n∈N^*)．                          …………………… 4分

（Ⅱ）當(dāng)λ＝4時(shí)，a_n＝(2n＋1)·4^n－1．

（反證法）假設(shè)存在a_r，a_s，a_t成等比數(shù)列，

則[(2r＋1)·4^r－1]· [(2t＋1)·4^t－1]＝(2s＋1)²·4^2s－2．

整理得(2r＋1) (2t＋1) 4 ^r＋t－2s＝(2s＋1)²．     

由奇偶性知r＋t－2s＝0．

所以(2r＋1) (2t＋1)＝(r＋t＋1)²，即(r－t)²＝0．這與r≠t矛盾，

故不存在這樣的正整數(shù)r，s，t，使得a_r，a_s，a_t成等比數(shù)列．        ……… 8分

（Ⅲ）S_n＝3＋5λ＋7λ²＋…＋(2n＋1)λ^n－1．

當(dāng)λ＝1時(shí)，S_n＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n²＋2n．                  ………… 10分

當(dāng)λ≠1時(shí)，S_n＝3＋5λ＋7λ²＋…＋(2n＋1)λ^n－1，

λS_n＝   3λ＋5λ²＋…＋(2n－1)λ^n－1＋(2n＋1)λⁿ．

(1－λ)S_n＝3＋2(λ＋λ²＋λ³＋＋…＋λ^n－1)－(2n＋1)λⁿ＝3＋2×－(2n＋1)λⁿ

①當(dāng)λ＝1時(shí)，左＝(1－λ)S_n＋λa_n＝a_n＝2n＋1≥3，結(jié)論顯然成立；

②當(dāng)λ≠1時(shí)，左＝(1－λ)S_n＋λa_n＝3＋2× －(2n＋1)λⁿ＋λa_n

＝3＋2× 

而，和同號(hào)，故≥0

∴ 對(duì)任意都成立                        ………… 14分

考點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和的運(yùn)用

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用數(shù)列的整體思想來(lái)求解通項(xiàng)公式，以及結(jié)合錯(cuò)位相減法求和得到證明，屬于中檔題。