Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側面底面，底面為矩形，，為的中點，.

（1）求證：；

（2）若與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查線面垂直的判定、二面角的求解等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、空間想象能力和邏輯推理能力.第一問，利用面面垂直的性質先得到線面垂直 平面，從而得到線線垂直，利用線面垂直的判定得平面，最后利用性質定理得到；第二問，法一：利用線面及三角形相似等知識判斷出為直線與平面所成的角，再在三角形中利用余弦定理解題；法二：利用向量法先建立空間直角坐標系，利用夾角公式計算二面角的余弦值.

試題解析：（Ⅰ）證明：連結,因,為的中點

故.

∵側面 底面

∴ 平面

∴，

∵，∴平面，

∴，

又∵，故 平面

所以．

（Ⅱ）解法一：在矩形中，由（Ⅰ）得，所以，不妨設則．

∵側面 底面，底面為矩形

∴平面 平面 ≌

∴為直線與平面所成的角

∴=，=，

∴，∴為等邊三角形，

設的中點為，連接，則

在中，過作，交于點，則為二面角的一個平面角。

由于=，，所以在中，，

∵

∴

∴

∴

即二面角的余弦值．

解法二：取的中點，以為原點，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標系．不妨設，則，所以，，，，從而，.

設平面的法向量為，

由，得，

可取．

同理，可取平面的一個法向量為．

于是，

所以二面角的余弦值為．