Question

【題目】已知函數(shù)，.

(1)若函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(2)證明:方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.

Answer 1

【答案】(1) (2) 見解析

【解析】

（1）依題意,得恒成立,即在區(qū)間內(nèi)恒成立；

（2）方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根即證明函數(shù)的圖象與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn).令，研究其圖象變化趨勢即可.

(1)由題得,函數(shù)的定義域?yàn)?/span>

由，

得，

依題意,得恒成立,

所以在區(qū)間內(nèi)恒成立,

所以.

而 ,當(dāng)且僅當(dāng),

即時(shí)，等號成立，

故，

因此實(shí)數(shù)的取值范圍為.

(2)令,即,

即 ，

也就是證明函數(shù)的圖象與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn).

由，

得

記 ,

所以

令 ，

當(dāng)時(shí), ,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減;

當(dāng)時(shí), ,在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時(shí), 有有極小值 ，

故，

因此在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

又因?yàn)楫?dāng),且時(shí), ,當(dāng)時(shí), ,

因此函數(shù)的圖象與直線有且只有一個(gè)交點(diǎn),

故方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)根.