設(shè)y=f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)I上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2都有f(
x1+x2
2
)≤
1
2
[f(x1)+f(x2)]成立，則f（x）稱為I上的凹函數(shù)．
（1）判斷f(x)=
3
x
(x＞0)是否為凹函數(shù)？
（2）已知函數(shù)f2（x）=x|ax-3|（a≠0）為區(qū)間[3，6]上的凹函數(shù)，請(qǐng)直接寫(xiě)出實(shí)數(shù)a的取值范圍（不要求寫(xiě)出解題過(guò)程）；
（3）設(shè)定義在R上的函數(shù)f3（x）滿足對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y都有f3（x+y）=f3（x）•f3（y）．求證：f3（x）為R上的凹函數(shù)．
（1）f（x）是凹函數(shù)，證明如下：
?x1，x2∈（0，+∞），∵
1
2
[f(x1)+f(x2)]=
1
2
(
3
x1
+
3
x2
)≥
3
x1x2
≥
3
x1+x2
2
=f(
x1+x2
2
)
∴f(
x1+x2
2
)≤
1
2
[f(x1)+f(x2)]，
∴f(x)=
3
x
(x＞0)是凹函數(shù)
（2）∵函數(shù)f2（x）=x|ax-3|=
ax2-3x    ax≥3
-ax2+3x  ax＜3

結(jié)合二次函數(shù)的圖象，要想使函數(shù)f2（x）為區(qū)間[3，6]上的凹函數(shù)，需a＜0或
a＞0
3
a
≤3

∴a的取值范圍為（-∞，0）∪[1，+∞）
（3）證明：設(shè)?x1，x2∈R
f3(x1)+f3(x2)=f3(
x1
2
+
x1
2
)+f3(
x2
2
+
x2
2
)
=f32(
x1
2
)+f32(
x2
2
)≥2f3(
x1
2
)•f3(
x2
2
)=2f3(
x1+x2
2
)
即
f3(x1)+f3(x2)
2
≥f3(
x1+x2
2
)
故f3（x）為R上的凹函數(shù)
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)y=f（x）是定義在區(qū)間（a，b）（b＞a）上的函數(shù)，若對(duì)?x1、x2∈（a，b），都有|f（x1）-f（x2）|≤|x1-x2|，則稱y=f（x）是區(qū)間（a，b）上的平緩函數(shù)．
（1）試證明對(duì)?k∈R3，f（x）=x2+kx+14都不是區(qū)間（-1，1）5上的平緩函數(shù)；
（2）若f（x）是定義在實(shí)數(shù)集R上的、周期為T(mén)=2的平緩函數(shù)，試證明對(duì)?x1、x2∈R，|f（x1）-f（x2）|≤1．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)y=f（x）是定義在R上的函數(shù)，給定下列三個(gè)條件：
（1）y=f（x）是偶函數(shù)；
（2）y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱；
（3）T=2為y=f（x）的一個(gè)周期．
如果將上面（1）、（2）、（3）中的任意兩個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，那么構(gòu)成的三個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)有
3
3
個(gè)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)y=f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)I上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2都有f(
x1+x2
2
)≤
1
2
[f(x1)+f(x2)]成立，則f（x）稱為I上的凹函數(shù)．
（1）判斷f(x)=
3
x
(x＞0)是否為凹函數(shù)？
（2）已知函數(shù)f2（x）=x|ax-3|（a≠0）為區(qū)間[3，6]上的凹函數(shù)，請(qǐng)直接寫(xiě)出實(shí)數(shù)a的取值范圍（不要求寫(xiě)出解題過(guò)程）；
（3）設(shè)定義在R上的函數(shù)f3（x）滿足對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y都有f3（x+y）=f3（x）•f3（y）．求證：f3（x）為R上的凹函數(shù)．

查看答案和解析>>

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

設(shè)y=f（x）為定義在區(qū)間I上的函數(shù)，若對(duì)I上任意兩個(gè)實(shí)數(shù)x1，x2都有數(shù)學(xué)公式成立，則f（x）稱為I上的凹函數(shù)．
（1）判斷數(shù)學(xué)公式是否為凹函數(shù)？
（2）已知函數(shù)f2（x）=x|ax-3|（a≠0）為區(qū)間[3，6]上的凹函數(shù)，請(qǐng)直接寫(xiě)出實(shí)數(shù)a的取值范圍（不要求寫(xiě)出解題過(guò)程）；
（3）設(shè)定義在R上的函數(shù)f3（x）滿足對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，y都有f3（x+y）=f3（x）•f3（y）．求證：f3（x）為R上的凹函數(shù)．

查看答案和解析>>

同步練習(xí)冊(cè)答案