設(shè)二次函數(shù) y=f(x)=ax2+bx+c的圖象以y軸為對稱軸,已知a+b=1,而且若點(diǎn)(x,y)在 y=f(x)的圖象上,則點(diǎn)(x,y2+1)在函數(shù) g(x)=f[f(x)]的圖象上.
(1)求g(x)的解析式;
(2)設(shè)F(x)=g(x)-λf(x),問是否存在這樣的l(λ∈R),使f(x)在(-∞,-
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)
內(nèi)是減函數(shù),在(-
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,0)內(nèi)是增函數(shù).
分析:(1)根據(jù)二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c的圖象以y軸為對稱軸,得到b=0,又a+b=1,求得a=1,再根據(jù)點(diǎn)(x,y)在 y=f(x)的圖象上,則點(diǎn)(x,y2+1)在函數(shù) g(x)=f[f(x)]的圖象上,代入,即可求得c的值,從而求得函數(shù)g(x)的解析式;
(2)根據(jù)(1)的結(jié)果,假設(shè)存在λ滿足題意,即說明-
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是函數(shù)的一個極小值點(diǎn),求導(dǎo),即-
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是導(dǎo)函數(shù)的一個零點(diǎn),解方程即可求得λ的值,注意驗證.
解答:解:(1)∵二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+c的圖象以y軸為對稱軸,
∴b=0,又∵a+b=1,∴a=1,
∴f(x)=x2+c,
∵點(diǎn)(x,y)在 y=f(x)的圖象上,則點(diǎn)(x,y2+1)在函數(shù) g(x)=f[f(x)]的圖象上,
∴y2+1=(x+c)2+c,即(x2+c)2+1=(x+c)2+c,
c=1,
∴f(x)=x2+1;g(x)=(x2+1)2+1;
(2)假設(shè)存在λ,使得F(x)在(-∞,-
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)
內(nèi)是減函數(shù),在(-
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,0)內(nèi)是增函數(shù),
-
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是函數(shù)的一個極小值點(diǎn),F(xiàn)(x)=(x2+1)2+1-λ(x2+1),
F′(x)=4x(x2+1)-2λx,∴F(-
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)=0,解得λ=3,
經(jīng)檢驗知λ=3復(fù)合題意,
故λ=3.
點(diǎn)評:此題是個中檔題.考查待定系數(shù)法求函數(shù)解析式,以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問題,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想,其中問題(2)是一個開放性問題,考查了同學(xué)們觀察、推理以及創(chuàng)造性地分析問題、解決問題的能力.
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(2)設(shè)F(x)=g(x)-λf(x),問是否存在這樣的l(λ∈R),使f(x)在內(nèi)是減函數(shù),在(,0)內(nèi)是增函數(shù).

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