Question

【題目】已知函數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù).

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）是否存在常數(shù)，使恒成立?若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）在區(qū)間和內(nèi)都單調(diào)遞增（2）存在，

【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)解析式，先求得導(dǎo)函數(shù)，并構(gòu)造函數(shù)，求得，令，求得的最小值，由可判斷，進(jìn)而判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）代入函數(shù)的解析式，將不等式變形并構(gòu)造函數(shù)原不等式等價(jià)于當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.求得，對分類討論即可求得的取值范圍；

（1）定義域?yàn)?/span>

函數(shù)

所以

（且）.

設(shè)函數(shù)（），

則.

令，解得

當(dāng)時(shí)所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

故在處取得最小值，且，

故當(dāng)且時(shí)，，即.

所以在區(qū)間和內(nèi)都單調(diào)遞增.

（2）存在，理由如下：

代入函數(shù)的解析式，將不等式變形并構(gòu)造函數(shù)（），

則原不等式等價(jià)于當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.（※）

求導(dǎo)得，其中.

若當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，則必然存在，使在區(qū)間內(nèi)恒成立.

所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，于是，這與（※）矛盾，故舍去.

若當(dāng)時(shí)，易知在區(qū)間單調(diào)遞減.

①當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

于是，從而在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

故對任意，都有，滿足（※）.

②當(dāng)時(shí)，若，則

即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.

此時(shí)，（）.

若，由，及零點(diǎn)存在性定理知，存在，使，

即，且在區(qū)間內(nèi)恒成立，在區(qū)間內(nèi)恒成立.

即在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.

于是當(dāng)時(shí)，（）.

故當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，所以（），滿足（※）.

綜上所述，存在常數(shù)滿足條件，其取值范圍是.