Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率為，且在橢圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)恰好在直線(xiàn)l:上時(shí)，的面積為.

（1）求橢圓的方程；

（2）作與平行的直線(xiàn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，且線(xiàn)段的中點(diǎn)為，若的斜率分別為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）.

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)恰好在直線(xiàn)l:上時(shí)，的面積為，直線(xiàn)與橢圓方程聯(lián)立，解得點(diǎn)的坐標(biāo)，則有，再由求解.

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為.由可得，由韋達(dá)定理，求得點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)，，建立模型，由，得到，或.然后用函數(shù)法求范圍.

（1）由可得，.

根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)點(diǎn)在第一象限，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，

設(shè)橢圓的焦距為2c，由條件可得，

即，

由橢圓的離心率可得，

所以，，

所以，，

，解得，故.

故橢圓的方程為

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為.

由可得，

，即，

所以，，或.

設(shè)，

則.

則，.

則，

.

當(dāng)時(shí)，，且在和上的取值范圍相同，

故只需求在上的取值范圍.

而在和上隨的增大而增大.

的取值范圍是.