Question

直線l：2ax-by+2=0（b≠0）經過圓x²+y²+2x-4y+1=0的圓心A．直線m：x+（a-1）y+（a²-1）=0．
（1）若直線l，m互相平行，求直線m的方程；
（2）若直線l繞點A逆時針旋轉45°后與直線m互相平行，求直線m的方程．

Answer 1

分析：（1）求出圓的圓心坐標，代入l的方程，利用直線l，m互相平行，求出a的值，然后求直線m的方程．
（2）由題意可得，直線l到直線m的角為45°．再利用一條直線到另一條直線的夾角公式求得a的值，即可得到所求直線m的方程．

解答：解：（1）圓x²+y²+2x-4y+1=0的圓心A（-1，2），
∵直線l：2ax-by+2=0（b≠0）經過圓x²+y²+2x-4y+1=0的圓心A．
∴-2a-2b+2=0，即a+b=1，
∴直線l：2ax-by+2=0化為：2ax-（1-a）y+2=0，
∵直線l，m互相平行，∴

2a

1

=

a-1

a-1

≠

2

a2-1

，解得a=

1

2

．
直線m：x+（a-1）y+（a²-1）=0的方程為：x-

1

2

y-

3

4

=0，即：4x-2y-3=0．
（2）由（1）可知直線l為：2ax-（1-a）y+2=0，因為它繞點A（-1，2）逆時針旋轉45°后，與直線m：x+（a-1）y+（a²-1）=0平行，
故直線l到直線m的角為45°．
再根據直線l的斜率為

2a

1-a

，直線m的斜率為

1

1-a

，∴tan45°=

1 1-a - 2a 1-a

1+  1 1-a •  2a 1-a

=1，解得a=3，或a=0．
故直線m的方程為：x+2y+8=0，或 x-y-1=0．

點評：本題主要考查直線和圓的位置關系的應用，兩條直線平行的性質，一條直線到另一條直線的夾角公式，屬于中檔題．