【題目】心理學家分析發(fā)現(xiàn)視覺和空間能力與性別有關,某數(shù)學興趣小組為了驗證這個結論,從興趣小組中按分層抽樣的方法抽取50名同學(男30女20),給所有同學幾何題和代數(shù)題各一題,讓各位同學自由選擇一道題進行解答.選題情況如表:(單位:人)
幾何題 | 代數(shù)題 | 總計 | |
男同學 | 22 | 8 | 30 |
女同學 | 8 | 12 | 20 |
總計 | 30 | 20 | 50 |
(1)能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關?
(2)經(jīng)過多次測試后,甲每次解答一道幾何題所用的時間在5﹣7分鐘,乙每次解答一道幾何題所用的時間在6﹣8分鐘,現(xiàn)甲、乙各解同一道幾何題,求乙比甲先解答完的概率.
(3)現(xiàn)從選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人對她們的答題情況進行全程研究,記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為X,求X的分布列及數(shù)學期望E(X).
附表及公式:
P(K2≥k) | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
K2= .
【答案】
(1)解:由表中數(shù)據(jù)得K2的觀測值K2= = >5.024.
所以根據(jù)統(tǒng)計有97.5%的把握認為視覺和空間能力與性別有關.
(2)解:設甲、乙解答一道幾何題的時間分別為x,y分鐘,
則基本事件滿足的區(qū)域為 (如圖所示).
設事件A為“乙比甲先做完此道題”
則滿足的區(qū)域為x>y.
∴P(A)= =
即乙比甲先解答完的概率為 .
(3)解:在選擇做幾何題的8名女生中任意抽取兩人,抽取方法有 =28 種,
其中甲、乙兩人都不被被抽到有 =15種;恰有一人被抽到有 =12種;兩人都被抽到有 =1種.
X可能取值為0,1,2,
P(X=0)= ,P(X=1)= ,P(X=2)= .
X的分布列為:
X | 0 | 1 | 2 |
P |
∴E(X)=0× +1× +2× =
【解析】(1)計算K2 , 對照附表做結論;(2)作出甲,乙兩人解答時間的平面區(qū)域,找出乙比甲早做完對于的區(qū)域,則區(qū)域面積的比值即為所求概率;(3)使用組合數(shù)公式和古典概型的概率計算公式分別計算X取不同值時的概率,得到X的分布列,求出數(shù)學期望.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設點的坐標分別為,直線相交于點,且它們的斜率之積是.
(1)求點的軌跡的方程;
(2)直線與曲線相交于兩點,若是否存在實數(shù),使得的面積為?若存在,請求出的值;若不存在,請說明理由。
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線畫出的是某個四面體的三視圖,則該四面體的表面積為( )
A.8+8 +4
B.8+8 +2
C.2+2 +
D. + +
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某單位為綠化環(huán)境,移栽了甲、乙兩種大樹各2株.設甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和,且各株大樹是否成活互不影響.求移栽的4株大樹中:
(1)兩種大樹各成活1株的概率;
(2)成活的株數(shù)的分布列與期望.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求曲線在點處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調區(qū)間及極值;
(3)對, 成立,求實數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】數(shù)列{an}中,a1=1,an , an+1是方程x2﹣(2n+1)x+ 的兩個根,則數(shù)列{bn}的前n項和Sn=( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), (其中, ),且函數(shù)的圖象在點處的切線與函數(shù)的圖象在點處的切線重合.
(1)求實數(shù), 的值;
(2)記函數(shù),是否存在最小的正常數(shù),使得當時,對于任意正實數(shù),不等式恒成立?給出你的結論,并說明結論的合理性.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】當 時,不等式 恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.[-5,-3]
B.[-6,1]
C.[-6,-2]
D.[-4,-3]
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