Question

如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥面ABCD．底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=AD=1．E為PD的中點．

（1）求證：CE∥平面PAB；

（2）求異面直線AB與PC所成的角的正切值．

Answer 1

考點：

異面直線及其所成的角；直線與平面平行的判定．

專題：

計算題；空間角．

分析：

（1）取AD的中點F．連接EF，CF．由題設(shè)條件推導(dǎo)出EF∥PA，CF∥AB，得到面EFC∥面PAB，由此能夠證明CE∥面PAB．

（2）由CF∥AB，知∠PCF為異面直線AB與PC所成的角，利用題設(shè)條件推導(dǎo)出CF⊥面PAD，由此能夠求出異面直線AB與PC所成的角的正切值．

解答：

解：（1）取AD的中點F．連接EF，CF．

∵PA⊥面ABCD．底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，BC=AD，E為PD的中點．

∴EF∥PA，CF∥AB，

∴面EFC∥面PAB，

所以CE∥面PAB．…（6分）

（2）∵CF∥AB，

∴∠PCF為異面直線AB與PC所成的角，

∵∠BAD=90°，CF∥AB，∴CF⊥AD，

∵PA⊥面ABCD，CF⊂平面ABCD，∴CF⊥PA，

又∵PA∩AD=A，∴CF⊥面PAD．

∵PA=AB=BC=AD=1，

∴PF=，CF=1，

∴在直角△PCF中，

tan∠PCF==．

故異面直線AB與PC所成的角的正切值為．…（12分）

點評：

本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線所成角的正切值的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地化空間問題為平面問題．