Question

已知函數(shù)f(x)=(b＜0)的值域為［1,3］.

(1)求實數(shù)b、c的值；

(2)判斷函數(shù)F(x)=lgf(x)在［-1,1］上的單調(diào)性；

(3)若t∈R,求證：lg≤F(|t-|-|t+|)≤lg.

Answer 1

(1)解:由y=知x∈R,變形為(2-y)x²+bx+c-y=0,

    當2-y≠0時，由于x∈R得Δ=b²-4(2-y)(c-y)≥0即4y²-4(2+c)y+8c-b²≤0,由題意知1≤y≤3,由韋達定理得又b＜0,∴

(2)解:f(x)=

    設-1≤x₁＜x₂≤1,則

f(x₁)-f(x₂)==(2-)-(2-)=-=

∵-1≤x₁＜x₂≤1,∴x₂-x₁＞0,1-x₁x₂＞0,

    又(+1)(+1)＞0

∴f(x₁)-f(x₂)＞0,∴f(x)在［-1,1］上為減函數(shù)

∴F(x)=lgf(x)在［-1，1］上也為減函數(shù).

(3)證明:||t-|-|t+||≤|t--t-|=

∴-≤|t-|-|t+|≤

    又F(x)在［-1，1］上為減函數(shù)，

∴l(xiāng)g=F()≤F(|t-|-|t+|)≤F(-)=lg

∴l(xiāng)g≤F(|t-|-|t+|)≤lg.